Правило множення

за Редакція 1 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке правило множення, яке також називають правилом добутку, в теорії ймовірностей. Отже, ви знайдете формулу правила множення, приклади того, як обчислити ймовірність за допомогою правила множення, а також кілька розв’язаних вправ для практики.

Правило множення залежить від того, чи є події незалежними чи залежними, тому ми спочатку побачимо, як правило виглядає для незалежних подій, а потім для залежних подій.

Правило множення незалежних подій

Пам’ятайте, що незалежні події – це результати статистичного експерименту, ймовірність настання яких не залежить одна від одної. Іншими словами, дві події A і B є незалежними, якщо ймовірність настання події A не залежить від настання події B і навпаки.

➤ Дивіться: Що таке незалежні події?

Формула правила множення незалежних подій

Коли дві події незалежні, правило множення говорить, що спільна ймовірність виникнення обох подій дорівнює добутку ймовірності кожної події.

Отже, формула правила множення для незалежних подій має вигляд:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

золото:

$A$

І

$B$

Це дві незалежні події.
$P(A\cap B)$

це спільна ймовірність того, що події A та B відбудуться.
$P(A)$

це ймовірність того, що подія А відбудеться.
$P(B)$

це ймовірність того, що подія B відбудеться.

➤ Дивіться: Що таке спільна ймовірність?

Приклад правила множення для незалежних подій

Тричі поспіль підкидають монетку. Обчисліть ймовірність отримання голів у всіх трьох підкиданнях.

У цьому випадку події, для яких ми хочемо обчислити спільну ймовірність, незалежні, оскільки результат жеребкування не залежить від результату, отриманого в попередньому жеребкуванні. Тому, щоб визначити спільну ймовірність отримання трьох послідовних голів, нам потрібно використовувати формулу правила множення для незалежних подій:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Коли ми кидаємо монету, є лише два можливі результати, ми можемо отримати орла або решку. Таким чином, ймовірність отримання орла або решки під час підкидання монети становить:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

$P(\text{cruz})=\cfrac{1}{2}=0,5$

Отже, щоб знайти ймовірність отримання голів при всіх трьох підкиданнях монети, нам потрібно помножити ймовірність отримання голів на три:

$P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125$

Коротше кажучи, ймовірність отримати голови три рази поспіль становить 12,5%.

Нижче ви маєте всі можливі події, представлені з їхніми ймовірностями на деревоподібній діаграмі, таким чином ви можете краще побачити процес, який ми дотримувалися, щоб отримати спільну ймовірність:

➤ Див.: Що таке деревоподібна діаграма?

Правило множення залежних подій

Тепер, коли ми побачили, що таке правило множення для незалежних подій, давайте подивимося, як цей закон виглядає для залежних подій, оскільки формула трохи змінюється.

Пам’ятайте, що залежні події – це результати випадкового експерименту, ймовірність появи яких залежить одна від одної. Тобто дві події є залежними, якщо ймовірність настання однієї події впливає на ймовірність настання іншої події.

➤ Див.: Що таке залежні події?

Формула правила множення для залежних подій

Коли дві події є залежними, правило множення говорить, що спільна ймовірність настання обох подій дорівнює добутку ймовірності настання однієї події на умовну ймовірність іншої події з урахуванням першої події.

Отже, формула правила множення для залежних подій виглядає так:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

золото:

$A$

І

$B$

Це дві залежні події.
$P(A\cap B)$

це ймовірність того, що подія A і B відбудуться.
$P(A)$

це ймовірність того, що подія А відбудеться.
$P(B|A)$

це умовна ймовірність події B, що відбудеться за даної події A.

➤ Дивіться: Що таке умовна ймовірність?

Приклад правила множення для залежних подій

У порожню коробку кладемо 8 синіх куль, 4 помаранчевих і 2 зелених кульки. Якщо ми спочатку витягнемо одну кулю, а потім іншу, не кладучи першу витягнуту назад у коробку, яка ймовірність того, що перша куля буде синьою, а друга помаранчевою?

У цьому випадку події є залежними, тому що ймовірність підібрати помаранчеву кульку в другому розіграші залежить від кольору кулі, витягнутої в першому розіграші. Тому, щоб обчислити спільну ймовірність, нам потрібно використовувати формулу правила множення для залежних подій:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Імовірність отримати синю кульку в першому розіграші легко визначити, просто розділіть кількість синіх кульок на загальну кількість кульок:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

З іншого боку, ймовірність витягнути помаранчеву кулю після взяття синьої обчислюється по-іншому, оскільки кількість помаранчевих куль інша, і, крім того, тепер на одну кулю менше в коробці:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

Таким чином, спільна ймовірність витягнути спочатку синю, а потім помаранчеву кульку обчислюється шляхом множення двох знайдених вище ймовірностей:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ Див.: Правило додавання

Розв’язані вправи на правило множення

Вправа 1

У місті є лише 3 дитячі садки: 60% дітей ходять до дитячого садка А, 30% – до дитячого садка B і 10% – до дитячого садка C. Крім того, у трьох дитячих садках 55% дітей – дівчата. Обчисліть такі ймовірності:

Імовірність того, що дитина випадковим чином буде обрана з дитячого садка B, це буде дівчинка.
Імовірність того, що дитина випадковим чином буде вибрана з будь-якого дитячого садка, це буде хлопчик.

Подивіться рішення

Якщо частка дівчаток у всіх дитячих садках становить 55%, то відсоток хлопчиків обчислюється простим відніманням 1 мінус 0,55:

$P(\text{chico})=1-0,55=0,45$

Тепер, коли ми знаємо всі ймовірності, ми можемо створити дерево з ймовірностями всіх можливостей:

У цьому випадку події незалежні, оскільки ймовірність того, що це хлопчик чи дівчинка, не залежить від обраного дитячого садка. Отже, щоб знайти ймовірність випадкового вибору дівчинки з дитячого садка B, вам потрібно помножити ймовірність вибору дитячого садка B на ймовірність вибору дівчинки:

$P(\text{chica guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,55=\bm{0,165}$

З іншого боку, щоб визначити ймовірність вибору хлопчика в будь-якому дитячому садку, ми повинні спочатку обчислити ймовірність вибору хлопчика для кожного дитячого садка, а потім скласти їх разом:

$P(\text{chico guarder\'ia A})=0,6\cdot 0,45=0,27$

$P(\text{chico guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,45=0,135$

$P(\text{chico guarder\'ia C})=0,10\cdot 0,45=0,045$

$P(\text{chico guarder\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\bm{0,45}$

Вправа 2

Було вивчено фінансовий рік 25 компаній у країні та те, як змінюються ціни їхніх акцій залежно від економічного результату року. Ви можете переглянути зібрані дані в наведеній нижче таблиці непередбачених ситуацій:

Наскільки ймовірно, що компанія отримає прибуток і також побачить зростання курсу її акцій?

Подивіться рішення

У цьому випадку події є залежними, оскільки ймовірність зростання чи падіння акцій залежить від економічного результату. Тому нам потрібно застосувати формулу правила множення для залежних подій:

$P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})$

Тому ми спочатку розраховуємо ймовірність того, що компанія отримає прибуток, а по-друге, ймовірність того, що акції компанії зростуть, коли вона отримає економічний прибуток:

$P(\text{beneficio})=\cfrac{14}{25}=0,56$

$P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\cfrac{10}{14}=0,71$

Далі підставляємо розраховані значення в формулу і обчислюємо спільну ймовірність:

$\begin{array}{l}P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=\\[2ex]=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\\[2ex]= 0,56\cdot 0,71=\\[2ex] =\bm{0,4} \end{array}$

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше