Розподіл бернуллі

за Редакція 4 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке розподіл Бернуллі та яка його формула. Крім того, ви знайдете властивості розподілу Бернуллі та розв’язану вправу, щоб краще зрозуміти його значення.

Що таке розподіл Бернуллі?

Розподіл Бернуллі , також відомий як дихотомічний розподіл , є розподілом ймовірностей, який представляє дискретну змінну, яка може мати лише два результати: «успіх» або «невдача».

У розподілі Бернуллі «успіх» — це результат, який ми очікуємо, і має значення 1, тоді як результат «невдача» — результат, відмінний від очікуваного, і має значення 0. Отже, якщо ймовірність результату « успіх» дорівнює p , ймовірність результату «невдачі» дорівнює q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Розподіл Бернуллі названо на честь швейцарського статистика Якоба Бернуллі.

У статистиці розподіл Бернуллі в основному має одне застосування: визначення ймовірностей експериментів, у яких є лише два можливі результати: успіх і невдача. Отже, експеримент, який використовує розподіл Бернуллі, називається тестом Бернуллі або експериментом Бернуллі.

Формула розподілу Бернуллі

Якщо p — це ймовірність досягнення результату «успіху», то ймовірність розподілу Бернуллі дорівнює p , збільшеному до x , помноженому на 1-p , збільшеному до 1-x . Таким чином , ймовірності розподілу Бернуллі можна розрахувати за такою формулою :

Зверніть увагу, що в розподілі Бернуллі значення x може бути лише 0 (невдача) або 1 (успіх).

З іншого боку, попередню формулу також можна записати за допомогою наступного еквівалентного виразу:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

Приклад розподілу Бернуллі

Тепер, коли ми знаємо визначення розподілу Бернуллі та його формулу, давайте розглянемо конкретний приклад розподілу Бернуллі.

Щоб виграти гру, гравець повинен кинути кубик і отримати 2, інакше інший гравець виграє гру, а тому гра буде програна. Розрахувати ймовірність успіху та невдачі.

Гральний кубик має шість можливих результатів (1, 2, 3, 4, 5, 6), тому в цьому випадку вибірковий простір експерименту такий:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

У нашому випадку єдиним випадком успіху є отримання числа два, тому ймовірність успіху при застосуванні правила Лапласа дорівнює одиниці, поділеній на загальну кількість можливих результатів (6):

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

З іншого боку, якщо при киданні кубика з’явиться інше число, результат експерименту буде вважатися невдалим, оскільки гравець програє гру. Таким чином, ця ймовірність еквівалентна одиниці мінус імовірність, розрахована раніше:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

Коротше кажучи, розподіл Бернуллі цього експерименту визначається таким виразом:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

Як ви бачите нижче, ймовірності розподілу Бернуллі також можна знайти, застосувавши формулу, наведену вище:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

Характеристика розподілу Бернуллі

Нижче наведено найважливіші характеристики розподілу Бернуллі.

Розподіл Бернуллі може приймати лише значення 1 (успіх) або 0 (невдача).

$x=\{0\ ; 1\}$

Середнє значення розподілу Бернуллі еквівалентно ймовірності появи результату «успіх».

$E[X]=p$

Дисперсію розподілу Бернуллі можна розрахувати шляхом множення ймовірностей появи результату «успіх» і «невдача». Або, еквівалентно, дисперсія дорівнює p , помноженому на 1-p .

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

Значення моди розподілу Бернуллі залежить від ймовірностей «успіху» і «провалу». Таким чином, режим цього типу розподілу визначається таким виразом:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...> The formula for the probability function
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

З іншого боку, кумулятивна функція ймовірності розподілу Бернуллі визначається таким виразом:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

Коефіцієнт асиметрії розподілу Бернуллі обчислюється за таким виразом:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

Подібним чином, ексцес розподілу Бернуллі залежить від значення параметра p і може бути знайдений за допомогою такої формули:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

Розподіл Бернуллі та біноміальний розподіл

У цьому розділі ми побачимо різницю між розподілом Бернуллі та біноміальним розподілом, оскільки це два типи пов’язаних розподілів ймовірностей.

Біноміальний розподіл підраховує кількість «успішних» результатів, отриманих із серії проб Бернуллі. Ці експерименти Бернуллі повинні бути незалежними, але мають однакову ймовірність успіху.

Таким чином, біноміальний розподіл є сумою набору змінних, які слідують за розподілом Бернуллі , усі визначені тим самим параметром p .

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

Отже, у розподілі Бернуллі є лише один експеримент Бернуллі, тоді як у біноміальному розподілі є послідовність експериментів Бернуллі.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше