Довірчий інтервал для одного стандартного відхилення

Інтервал довіри для стандартного відхилення – це діапазон значень, який, ймовірно, міститиме стандартне відхилення генеральної сукупності з певним рівнем довіри.

Цей посібник пояснює наступне:

• Мотивація створити цей довірчий інтервал.
• Формула для створення цього довірчого інтервалу.
• Приклад того, як розрахувати цей довірчий інтервал.
• Як інтерпретувати цей довірчий інтервал.

Довірчий інтервал для одного стандартного відхилення: мотивація

Причина, по якій ми створюємо довірчий інтервал для стандартного відхилення, полягає в тому, що ми хочемо врахувати нашу невизначеність під час оцінки стандартного відхилення сукупності.

Наприклад, припустімо, що ми хочемо оцінити стандартне відхилення ваги певного виду черепах у Флориді. Оскільки у Флориді є тисячі черепах, було б дуже довго і дорого обходити і зважувати кожну черепаху окремо.

Замість цього ми можемо взяти просту випадкову вибірку з 50 черепах і використати стандартне відхилення ваги черепах у цій вибірці, щоб оцінити справжнє стандартне відхилення популяції:

Проблема полягає в тому, що вибіркове стандартне відхилення не гарантовано точно збігається зі стандартним відхиленням усієї сукупності. Отже, щоб зафіксувати цю невизначеність, ми можемо створити довірчий інтервал, що містить діапазон значень, які, ймовірно, містять справжнє стандартне відхилення сукупності.

Довірчий інтервал для одного стандартного відхилення: формула

Ми використовуємо таку формулу, щоб обчислити довірчий інтервал для середнього:

Довірчий інтервал = [√(n-1)s ² /X ² _α/2 , √(n-1)s ² /X ² _1-α/2 ]

золото:

• n: розмір вибірки
• s: вибіркове стандартне відхилення
• X ² : Критичне значення Хі-квадрат із n-1 ступенями свободи.

Довірчий інтервал для стандартного відхилення: приклад

Припустимо, ми збираємо випадкову вибірку черепах із такою інформацією:

• Обсяг вибірки n = 27
• Стандартне відхилення вибірки s = 6,43

Ось як знайти різні довірчі інтервали для справжнього стандартного відхилення сукупності:

90% довірчий інтервал: [ √ (27-1)*6,43 ² /38,885, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 15,379) = [5,258, 8,361]

95% довірчий інтервал: [ √ (27-1)*6,43 ² /41,923, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 13,844) = [5,064, 8,812]

99% довірчий інтервал: [ √ (27-1)*6,43 ² /48,289, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 11,160) = [4,718, 9,814]

Примітка. Ви також можете знайти ці довірчі інтервали за допомогою калькулятора довірчого інтервалу для стандартного відхилення .

Довірчий інтервал для одного стандартного відхилення: інтерпретація

Спосіб інтерпретації довірчого інтервалу такий:

Імовірність того, що довірчий інтервал [5,064, 8,812] містить справжнє стандартне відхилення популяції, становить 95%.

Іншим способом сказати те ж саме є те, що існує лише 5% ймовірність того, що справжнє стандартне відхилення популяції лежить за межами 95% довірчого інтервалу. Тобто існує лише 5% ймовірність того, що справжнє стандартне відхилення сукупності буде більше 8812 або менше 5064.