Теорема повної ймовірності

У цій статті пояснюється, що таке теорема повної ймовірності та для чого вона використовується в ймовірності та статистиці. Отже, ви знайдете формулу для теореми повної ймовірності, розв’язані вправи та коли використовується теорема про повну ймовірність.

Що таке теорема повної ймовірності?

У теорії ймовірностей теорема повної ймовірності — це закон, який дає змогу обчислити ймовірність події, яка не є частиною вибіркового простору, з умовних ймовірностей усіх подій у зазначеному вибірковому просторі.

Таким чином, теорема повної ймовірності використовується для обчислення ймовірності конкретної події на основі часткової інформації про цю подію. Іноді ми не можемо визначити ймовірність події, безпосередньо застосовуючи правило Лапласа, оскільки ми не маємо всієї необхідної інформації. Але якщо ми знаємо дані про цю подію відносно інших подій, теорема повної ймовірності зазвичай корисна.

Коротше кажучи, теорема повної ймовірності використовується, коли ми хочемо обчислити ймовірність події, але маємо інформацію про неї лише за певних умов. Наприклад, деякі застосування цієї теореми включають експерименти з кількома випадками, теорію масового обслуговування та аналіз виживання.

Формула теореми повної ймовірності

Теорема про загальну ймовірність говорить, що заданий набір подій {A ₁ , A ₂ ,…, A _n }, які утворюють розділ на вибірковому просторі, ймовірність події B дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної події P(A _i ) за умовною ймовірністю P(B|A _i ).

Тому формула для теореми повної ймовірності має вигляд:

золото:

• 

  це ймовірність того, що подія B відбудеться.

• 

  є умовною ймовірністю події B за даної події A _i .

• 

  це ймовірність того, що подія A _i відбудеться.

Майте на увазі, що за ймовірністю розділ вибіркового простору визначається як набір взаємно несумісних подій, об’єднання яких утворює вибірковий простір.

Конкретний приклад теореми повної ймовірності

Ознайомившись з визначенням теореми повної ймовірності та її формулою, ми побачимо розв’язану вправу про те, як обчислюється ймовірність за допомогою теореми про повну ймовірність, щоб краще зрозуміти її значення.

• Магазин електроніки продає телевізори трьох марок: X, Y, Z. Підраховано, що 20% продажів припадає на брендові телевізори, % марок з дефектами та 4% марок Z. телевізори несправні. Наскільки ймовірно купити несправний телевізор?

Постановка задачі дає нам ймовірність того, що клієнт придбає кожну марку телевізора:

• Подія A ₁ : клієнт купує _{телевізор} певної марки
• Подія A ₂ : Клієнт купує телевізор марки Y → P(A ₂ )=0,50
• Подія A ₃ : Клієнт купує телевізор марки Z → P(A ₃ )=0,30

Крім того, заява про вправу також надає нам імовірність того, що телевізор кожного бренду несправний:

Подія Б: Телевізор несправний

• B|A ₁ : Враховуючи телевізор марки X, телевізор несправний → P(B|A ₁ )=0,05
• B|A ₂ : Враховуючи марку телевізора Y, телевізор несправний → P(B|A ₂ )=0,03
• B|A ₃ : Враховуючи телевізор марки Z, телевізор несправний → P(B|A ₃ )=0,04

Отже, дерево ймовірностей задачі виглядає наступним чином:

Отже, щоб розрахувати ймовірність покупки несправного телевізора, нам потрібно скористатися формулою правила повної ймовірності:

У нашому випадку вибірковий простір складається з трьох подій (A ₁ , A ₂ і A ₃ ), тому формула для теореми повної ймовірності виглядає наступним чином:

Тому достатньо підставити ймовірності попереднього виразу, щоб знайти ймовірність придбання несправного телевізора:

Підсумовуючи, існує ймовірність 3,7% того, що ми купуємо телевізор і він несправний.

Теорема повної ймовірності та теорема Байєса

Теорема повної ймовірності та теорема Байєса є двома важливими теоремами в теорії ймовірностей, особливо тому, що вони дозволяють нам обчислювати ймовірності з умовних значень ймовірностей.

Теорема Байєса — закон теорії ймовірностей, який використовується для обчислення ймовірності події, коли відома апріорна інформація про цю подію.

Зокрема, теорема повної ймовірності та теорема Байєса пов’язані, фактично знаменник формули теореми Байєса еквівалентний формулі теореми повної ймовірності.

Натисніть це посилання, щоб побачити, що таке теорема Байєса та приклади її застосування: