Формули ймовірностей

за Редакція 1 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті показано, що таке формули ймовірності. Таким чином, ви знайдете всі формули теорії ймовірностей і, крім того, приклади їх застосування.

Формула правила Лапласа

Правило Лапласа, також відоме як закон Лапласа, — це правило, яке використовується для обчислення ймовірності настання події.

Правило Лапласа говорить, що ймовірність події дорівнює кількості сприятливих випадків, поділеній на загальну кількість можливих випадків. Тому, щоб обчислити ймовірність події, випадки, які відповідають цій події, потрібно розділити на кількість можливих результатів.

Отже, формула правила Лапласа має такий вигляд:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

➤ Див.:Приклад правила Лапласа

Формула оберненої події

Імовірність однієї події дорівнює одиниці мінус ймовірність протилежної події. Іншими словами, сума ймовірності однієї події плюс ймовірності протилежної події дорівнює 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Наприклад, ймовірність викидання числа 5 дорівнює 0,167, оскільки ми можемо визначити ймовірність викидання будь-якого іншого числа за допомогою цієї ймовірнісної властивості:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Формула умовної ймовірності

Умовна ймовірність, яка також називається умовною ймовірністю, є статистичним показником, який вказує на ймовірність того, що подія A відбудеться, якщо відбудеться інша подія B. Тобто умовна ймовірність P(A|B) відноситься до ймовірності події A після того, як подія B вже відбулася.

Умовна ймовірність події A даної події B дорівнює ймовірності перетину подій A і події B, поділеній на ймовірність події B. Тому формула для умовної ймовірності має такий вигляд:

$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

➤ Див.: Приклад умовної ймовірності

Формула об’єднання подій

Об’єднання двох подій A і B — це набір подій, які містяться в A, B або в обох. Об’єднання двох подій позначається символом ⋃, таким чином, об’єднання подій A і B записується A⋃B.

Ймовірність об’єднання двох подій дорівнює ймовірності першої події плюс ймовірність другої події мінус ймовірність перетину подій.

Іншими словами, формула ймовірності об’єднання двох подій має вигляд P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Однак, якщо дві події несумісні, перетин між двома подіями дорівнює нулю. Тому ймовірність об’єднання двох несумісних подій обчислюється додаванням ймовірності появи кожної події.

$\text{A y B son incompatibles} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P(A\cap B)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ Дивіться: Приклади участі в заходах

Формула перетину подій

Перетин подій A і B утворений усіма подіями, які одночасно належать A і B, позначається символом ⋂. Отже, перетин подій A і B записується A⋂B.

Імовірність перетину двох подій дорівнює ймовірності настання однієї події, помноженій на умовну ймовірність настання іншої події з урахуванням першої події.

Отже, формула ймовірності перетину двох подій має вигляд P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

Однак, якщо дві події незалежні, це означає, що ймовірність настання однієї події не залежить від того, чи відбудеться інша подія. Отже, формула ймовірності перетину двох незалежних подій має такий вигляд:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

➤ Див.: Приклади перетину подій

Формула різниці подій

Імовірність різниці між двома подіями означає ймовірність того, що одна подія відбудеться, а інша не відбудеться одночасно.

Тому ймовірність різниці успіхів AB дорівнює ймовірності успіху A за вирахуванням ймовірності перетину успіху A та успіху B. Таким чином , формула ймовірності різниці успіхів є наступною:

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

Формула теореми повної ймовірності

Теорема повної ймовірності — це закон, який дає змогу обчислити ймовірність події, яка не є частиною вибіркового простору, з умовних ймовірностей усіх подій у зазначеному вибірковому просторі.

Теорема про загальну ймовірність говорить, що заданий набір подій {A ₁ , A ₂ ,…, A _n }, які утворюють розділ на вибірковому просторі, ймовірність події B дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної події P(A _i ) за умовною ймовірністю P(B|A _i ).

Тому формула для теореми повної ймовірності має вигляд:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

➤ Див.: Приклад теореми повної ймовірності

Формула теореми Байєса

У теорії ймовірностей теорема Байєса — це закон, який використовується для обчислення ймовірності події, коли відома апріорна інформація про цю подію.

Теорема Байєса говорить, що заданий вибірковий простір, утворений набором взаємовиключних подій {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, A _n }, імовірності яких не дорівнюють нулю, та іншої події B, ми можемо математично зв’язати умовне ймовірність A _i за умови події B з умовною ймовірністю B за даної A _i .

Отже, формула теореми Байєса має такий вигляд:

$P(A_i|B)=\cfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}$

➤ Див.: Приклад теореми Байєса

Зведена таблиця всіх ймовірнісних формул

Нарешті, ми залишаємо вам таблицю з усіма формулами ймовірності як зведення.

➤ Див.: Статистичні формули

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше