Інтервал оцінки

за 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке інтервальна оцінка в статистиці. Ви також дізнаєтеся, як виконується інтервальна оцінка і, нарешті, чим інтервальна оцінка відрізняється від точкової.

Що таке інтервальна оцінка?

У статистиці інтервальна оцінка — це процес, у якому значення параметра сукупності оцінюється за допомогою інтервалу. Точніше, інтервальна оцінка передбачає обчислення інтервалу, в якому значення параметра найімовірніше знайдено з певним рівнем довіри .

Наприклад, якщо під час інтервальної оцінки ми приходимо до висновку, що довірчий інтервал для середньої сукупності становить (3,7) з рівнем довіри 95%, це означає, що середнє значення досліджуваної сукупності буде між 3 і 7 із ймовірність 95%.

Загалом, розмір популяції занадто великий, щоб вивчати всіх її особин, тому значення її статистичних вимірювань не може бути відоме з упевненістю, це скоріше наближення.

Таким чином, інтервальна оцінка використовується для надання на основі вибіркових даних наближення діапазону значень, між якими знаходиться параметр сукупності. Таким чином, значення параметра сукупності можна оцінити за даними, вивченими з вибірки.

Нарешті, щоб повністю зрозуміти значення інтервальної оцінки, вам потрібно чітко розуміти концепцію довірчого інтервалу. Довірчий інтервал – це інтервал, який забезпечує з допуском похибки наближення значень, між якими знаходиться значення параметра сукупності. Таким чином, довірчий інтервал є результатом, отриманим з інтервальної оцінки.

Інтервальні формули оцінки

Нижче ви знайдете різні формули для оцінки довірчих інтервалів, оскільки залежно від того, чи бажаєте ви оцінити довірчий інтервал для середнього, для дисперсії чи для пропорції, формула для використання буде різною.

Довірчий інтервал для середнього

Припустимо, що процес введення змінної виглядає так:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

Довірчий інтервал для середнього обчислюється шляхом додавання та віднімання від середнього значення Z α/2 , помноженого на стандартне відхилення (σ) і поділеного на квадратний корінь із розміру вибірки (n). Тому формула для обчислення довірчого інтервалу середнього має вигляд:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Для великих розмірів вибірки та 95% рівня довіри критичне значення становить Z α/2 = 1,96, а для 99% рівня довіри критичне значення становить Z α/2 = 2,576.

Наведена вище формула використовується, коли відома дисперсія сукупності. Однак, якщо дисперсія генеральної сукупності невідома, що є найпоширенішим випадком, довірчий інтервал для середнього обчислюється за такою формулою:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

золото:

  • \overline{x}

    це зразок засобів.

  • t_{\alpha/2}

    – значення t-розподілу Стьюдента n-1 ступенів свободи з імовірністю α/2.

  • s

    є стандартним відхиленням вибірки.

  • n

    це розмір вибірки.

довірчий інтервал

Довірчий інтервал для дисперсії

Для розрахунку довірчого інтервалу для дисперсії сукупності використовується розподіл хі-квадрат. Точніше, формула для розрахунку довірчого інтервалу для дисперсії виглядає так:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

золото:

  • n

    це розмір вибірки.

  • s

    є стандартним відхиленням вибірки.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    це значення розподілу хі-квадрат із n-1 ступенями свободи для ймовірності, меншої за α/2.

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    це значення розподілу хі-квадрат із n-1 ступенями свободи для ймовірності, більшої за 1-α/2.

Довірчий інтервал для пропорції

Довірчий інтервал для пропорції обчислюється шляхом додавання та віднімання від пропорції вибірки значення Z α/2 , помноженого на квадратний корінь із пропорції вибірки (p), помноженого на 1-p і поділеного на розмір вибірки (n). Отже, формула для розрахунку довірчого інтервалу для частки має вигляд:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

золото:

  • p

    є пропорцією зразка.

  • n

    це розмір вибірки.

  • Z_{\alpha/2}

    квантиль стандартного нормального розподілу, що відповідає ймовірності α/2. Для великих розмірів вибірки та 95% рівня довіри він зазвичай близький до 1,96, а для 99% рівня довіри він зазвичай близький до 2,576.

Інтервальна оцінка та точкова оцінка

Нарешті, ми побачимо відмінності між інтервальною оцінкою та точковою оцінкою, оскільки значення параметра сукупності можна оцінити за допомогою інтервалу (як ми бачили в цій статті) або за допомогою бального значення.

Різниця між інтервальною оцінкою та точковою оцінкою полягає в діапазоні значень, що використовуються в оцінці параметра. При інтервальній оцінці параметр наближається до довірчого інтервалу, тоді як при точковій оцінці параметр апроксимується до певного значення.

Тому при точковій оцінці одне значення, розраховане з даних вибірки, розглядається як наближення значення параметра сукупності. Наприклад, середнє значення сукупності можна точно оцінити за допомогою вибіркового середнього.

Таким чином, точкова оцінка має переваги та недоліки порівняно з інтервальною оцінкою, так що кожен тип оцінки підходить для використання в даній ситуації. Щоб дізнатися більше, натисніть на таке посилання:

Про автора

Доктор Бенджамін Андерсон
Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Додати коментар

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *