Deux exemples de test Z : définition, formule et exemple

Un test z à deux échantillons est utilisé pour tester si les moyennes de deux populations sont égales.

Ce test suppose que l’écart type de chaque population est connu.

Ce tutoriel explique les éléments suivants :

• La formule pour effectuer un test z à deux échantillons.
• Les hypothèses d’un test z à deux échantillons.
• Un exemple de la façon d’effectuer un test z à deux échantillons.

Allons-y !

Deux échantillons de test Z : formule

Un test z à deux échantillons utilise les hypothèses nulles et alternatives suivantes :

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (les deux moyennes de population sont égales)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (les deux moyennes de population ne sont pas égales)

Nous utilisons la formule suivante pour calculer la statistique du test z :

z = ( X ₁ – X ₂ ) / √ σ ₁ ² /n ₁ + σ ₂ ² /n ₂ )

où:

• x ₁ , x ₂ : moyennes de l’échantillon
• σ ₁ , σ ₂ : écarts types de la population
• n ₁ , n ₂ : tailles d’échantillon

Si la valeur p qui correspond à la statistique du test z est inférieure au niveau de signification que vous avez choisi (les choix courants sont 0,10, 0,05 et 0,01), vous pouvez alors rejeter l’hypothèse nulle .

Deux exemples de test Z : hypothèses

Pour que les résultats d’un test z à deux échantillons soient valides, les hypothèses suivantes doivent être respectées :

• Les données de chaque population sont continues (et non discrètes).
• Chaque échantillon est un échantillon aléatoire simple de la population d’intérêt.
• Les données de chaque population sont distribuées à peu près normalement .
• Les écarts types de population sont connus.

Test Z à deux échantillons : exemple

Supposons que les niveaux de QI des individus de deux villes différentes soient normalement distribués, chacun avec des écarts types de population de 15.

Une scientifique veut savoir si le niveau de QI moyen des individus d’une ville A et d’une ville B est différent. Elle sélectionne donc un échantillon aléatoire simple de 20 individus de chaque ville et enregistre leurs niveaux de QI.

Pour tester cela, elle effectuera un test z à deux échantillons au niveau de signification α = 0,05 en suivant les étapes suivantes :

Étape 1 : Rassemblez les exemples de données.

Supposons qu’elle collecte deux échantillons aléatoires simples avec les informations suivantes :

• x ₁ (QI moyen de l’échantillon 1) = 100,65
• n ₁ (échantillon 1 taille) = 20
• x ₂ (QI moyen de l’échantillon 2) = 108,8
• n ₂ (taille de l’échantillon 2) = 20

Étape 2 : Définir les hypothèses.

Elle effectuera les deux exemples de tests z avec les hypothèses suivantes :

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (les deux moyennes de population sont égales)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (les deux moyennes de population ne sont pas égales)

Étape 3 : Calculez la statistique du test z.

La statistique du test z est calculée comme suit :

• z = ( X ₁ – X ₂ ) / √ σ ₁ ² /n ₁ + σ ₂ ² /n ₂ )
• z = (100,65-108,8) / √ 15 ² /20 + 15 ² /20)
• z = -1,718

Étape 4 : Calculez la valeur p de la statistique du test z.

Selon lecalculateur de score Z vers P Value , la valeur p bilatérale associée à z = -1,718 est de 0,0858 .

Étape 5 : Tirez une conclusion.

Puisque la valeur p (0,0858) n’est pas inférieure au niveau de signification (0,05), le scientifique ne parviendra pas à rejeter l’hypothèse nulle.

Il n’existe pas suffisamment de preuves pour affirmer que le niveau moyen de QI est différent entre les deux populations.

Remarque : Vous pouvez également effectuer l’intégralité de ce test Z à deux échantillons à l’aide du calculateur de test Z à deux échantillons .

Ressources additionnelles

Les didacticiels suivants expliquent comment effectuer un test z à deux échantillons à l’aide de différents logiciels statistiques :

Comment effectuer des tests Z dans Excel
Comment effectuer des tests Z dans R
Comment effectuer des tests Z en Python