Un exemple de test Z : définition, formule et exemple

Un test z sur un échantillon est utilisé pour tester si la moyenne d’une population est inférieure, supérieure ou égale à une valeur spécifique.

Ce test suppose que l’écart type de la population est connu.

Ce tutoriel explique les éléments suivants :

• La formule pour effectuer un test z sur un échantillon.
• Les hypothèses d’un test z sur un échantillon.
• Un exemple de la façon d’effectuer un test z sur un échantillon.

Allons-y !

Un exemple de test Z : formule

Un test z sur un échantillon utilisera toujours l’une des hypothèses nulles et alternatives suivantes :

1. Test Z bilatéral

• H ₀ : μ = μ ₀ (la moyenne de la population est égale à une valeur hypothétique μ ₀ )
• H _A : μ ≠ μ ₀ (la moyenne de la population n’est pas égale à une valeur hypothétique μ ₀ )

2. Test Z à gauche

• H ₀ : μ ≥ μ ₀ (la moyenne de la population est supérieure ou égale à une valeur hypothétique μ ₀ )
• H _A : μ < μ ₀ (la moyenne de la population est inférieure à une valeur hypothétique μ ₀ )

3. Test Z à queue droite

• H ₀ : μ ≤ μ ₀ (la moyenne de la population est inférieure ou égale à une valeur hypothétique μ ₀ )
• H _A : μ > μ ₀ (la moyenne de la population est supérieure à une valeur hypothétique μ ₀ )

Nous utilisons la formule suivante pour calculer la statistique du test z :

z = ( X – μ ₀ ) / (σ/√ n )

où:

• x : moyenne de l’échantillon
• μ ₀ : moyenne hypothétique de la population
• σ : écart type de la population
• n : taille de l’échantillon

Si la valeur p qui correspond à la statistique du test z est inférieure au niveau de signification que vous avez choisi (les choix courants sont 0,10, 0,05 et 0,01), vous pouvez alors rejeter l’hypothèse nulle .

Un exemple de test Z : hypothèses

Pour que les résultats d’un test z sur un échantillon soient valides, les hypothèses suivantes doivent être respectées :

• Les données sont continues (et non discrètes).
• Les données sont un simple échantillon aléatoire de la population d’intérêt.
• Les données dans la population sont distribuées à peu près normalement .
• L’écart type de la population est connu.

Un échantillon de test Z : exemple

Supposons que le QI d’une population soit normalement distribué avec une moyenne de μ = 100 et un écart type de σ = 15.

Une scientifique veut savoir si un nouveau médicament affecte les niveaux de QI. Elle recrute donc 20 patients pour l’utiliser pendant un mois et enregistre leurs niveaux de QI à la fin du mois :

Pour tester cela, elle effectuera un test z sur un échantillon au niveau de signification α = 0,05 en suivant les étapes suivantes :

Étape 1 : Rassemblez les exemples de données.

Supposons qu’elle collecte un échantillon aléatoire simple avec les informations suivantes :

• n (taille de l’échantillon) = 20
• x (QI moyen de l’échantillon) = 103,05

Étape 2 : Définir les hypothèses.

Elle effectuera le test z sur un échantillon avec les hypothèses suivantes :

• H ₀ : µ = 100
• H _A : μ ≠ 100

Étape 3 : Calculez la statistique du test z.

La statistique du test z est calculée comme suit :

• z = (x – μ) / (σ√ n )
• z = (103,05 – 100) / (15/√ 20 )
• z = 0,90933

Étape 4 : Calculez la valeur p de la statistique du test z.

Selon lecalculateur de score Z vers P Value , la valeur p bilatérale associée à z = 0,90933 est 0,36318 .

Étape 5 : Tirez une conclusion.

Puisque la valeur p (0,36318) n’est pas inférieure au niveau de signification (0,05), le scientifique ne parviendra pas à rejeter l’hypothèse nulle.

Il n’existe pas suffisamment de preuves pour affirmer que le nouveau médicament affecte de manière significative le niveau de QI.

Remarque : Vous pouvez également effectuer l’intégralité de ce test z sur un échantillon à l’aide du calculateur de test Z sur un échantillon .

Ressources additionnelles

Les didacticiels suivants expliquent comment effectuer un test z sur un échantillon à l’aide de différents logiciels statistiques :

Comment effectuer des tests Z dans Excel
Comment effectuer des tests Z dans R
Comment effectuer des tests Z en Python