Comment trouver la probabilité « au moins trois » Succès

Nous pouvons utiliser la formule générale suivante pour trouver la probabilité d’au moins trois succès dans une série d’essais :

P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes) 

Dans la formule ci-dessus, nous pouvons calculer chaque probabilité en utilisant la formule suivante pour la distribution binomiale :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

où:

• n : nombre d’essais
• k : nombre de réussites
• p : probabilité de succès sur un essai donné
• _n C _k : le nombre de façons d’obtenir k succès dans n essais

Les exemples suivants montrent comment utiliser cette formule pour trouver la probabilité d’« au moins trois » succès dans différents scénarios.

Exemple 1 : tentatives de lancer franc

Ty réussit 25 % de ses tentatives de lancer franc. S’il tente 5 lancers francs, trouvez la probabilité qu’il en réalise au moins trois.

Tout d’abord, calculons la probabilité qu’il réussisse exactement zéro, exactement un ou exactement deux lancers francs :

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,25 ² * (1-0,25) ^5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 ³ = 0,2636

Ensuite, insérons ces valeurs dans la formule suivante pour trouver la probabilité que Ty réalise au moins trois lancers francs :

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
• P(X≥3) = 0,1036

La probabilité que Ty réalise au moins trois lancers francs en cinq tentatives est de 0,1036 .

Exemple 2 : Widgets

Dans une usine donnée, 2 % de tous les widgets sont défectueux. Dans un échantillon aléatoire de 10 widgets, déterminez la probabilité qu’au moins deux soient défectueux.

Tout d’abord, calculons la probabilité qu’exactement zéro, exactement un ou exactement deux soient défectueux :

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0,02 ² * (1-0,02) ^10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 ⁸ = 0,0153

Ensuite, insérons ces valeurs dans la formule suivante pour trouver la probabilité qu’au moins trois widgets soient défectueux :

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
• P(X≥3) = 0,0009

La probabilité qu’au moins trois widgets soient défectueux dans cet échantillon aléatoire de 10 est de 0,0009 .

Exemple 3 : Questions triviales

Bob répond correctement à 60 % des questions triviales. Si nous lui posons 5 questions triviales, trouvez la probabilité qu’il réponde correctement à au moins trois.

Tout d’abord, calculons la probabilité qu’il réponde exactement zéro, exactement un ou exactement deux correctement :

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,60 ² * (1-0,60) ^5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 ³ = 0,2304

Ensuite, insérons ces valeurs dans la formule suivante pour trouver la probabilité qu’il réponde correctement à au moins trois questions :

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
• P(X≥3) = 0,6826

La probabilité qu’il réponde correctement à au moins trois questions sur cinq est de 0,6826 .

Bonus : Calculateur de probabilité d’au moins trois

Utilisez cette calculatrice pour trouver automatiquement la probabilité d’« au moins trois » réussites, en fonction de la probabilité de réussite dans un essai donné et du nombre total d’essais.