Transformation Z de Fisher : Définition & Exemple

La transformation Fisher Z est une formule que nous pouvons utiliser pour transformer le coefficient de corrélation de Pearson (r) en une valeur (z _r ) qui peut être utilisée pour calculer un intervalle de confiance pour le coefficient de corrélation de Pearson.

La formule est la suivante :

z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2

Par exemple, si le coefficient de corrélation de Pearson entre deux variables s’avère être r = 0,55, alors nous calculerions z _r comme étant :

• z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2
• z _r = ln((1+.55) / (1-.55)) / 2
• z _r = 0,618

Il s’avère que la distribution d’échantillonnage de cette variable transformée suit une distribution normale .

Ceci est important car cela nous permet de calculer un intervalle de confiance pour un coefficient de corrélation de Pearson.

Sans effectuer cette transformation de Fisher Z, nous serions incapables de calculer un intervalle de confiance fiable pour le coefficient de corrélation de Pearson.

L’exemple suivant montre comment calculer un intervalle de confiance pour un coefficient de corrélation de Pearson dans la pratique.

Exemple : Calcul d’un intervalle de confiance pour le coefficient de corrélation

Supposons que nous souhaitions estimer le coefficient de corrélation entre la taille et le poids des résidents d’un certain comté. Nous sélectionnons un échantillon aléatoire de 60 résidents et trouvons les informations suivantes :

• Taille de l’échantillon n = 60
• Coefficient de corrélation entre la taille et le poids r = 0,56

Voici comment trouver un intervalle de confiance à 95 % pour le coefficient de corrélation de population :

Étape 1 : Effectuez la transformation de Fisher.

Soit z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2 = ln((1+.56) / (1-.56)) / 2 = 0,6328

Étape 2 : Trouvez les limites supérieure et inférieure du journal.

Soit L = z _r – (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 – (1,96 /√ 60-3 ) = 0,373

Soit U = z _r + (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 + (1,96 /√ 60-3 ) = 0,892

Étape 3 : Trouvez l’intervalle de confiance.

Intervalle de confiance = [(e ^2L -1)/(e ^2L +1), (e ^2U -1)/(e ^2U +1)]

Intervalle de confiance = [(e ^2(.373) -1)/(e ^2(.373) +1), (e ^2(.892) -1)/(e ^2(.892) +1)] = [ .3568, .7126]

Remarque : Vous pouvez également trouver cet intervalle de confiance à l’aide de l’ Intervalle de confiance pour un calculateur de coefficient de corrélation .

Cet intervalle nous donne une plage de valeurs susceptible de contenir le véritable coefficient de corrélation de Pearson entre le poids et la taille de la population avec un niveau de confiance élevé.

Notez l’importance de la transformation de Fisher Z : c’était la première étape que nous devions effectuer avant de pouvoir réellement calculer l’intervalle de confiance.

Ressources additionnelles

Introduction au coefficient de corrélation de Pearson
Les cinq hypothèses de la corrélation de Pearson
Comment calculer manuellement un coefficient de corrélation de Pearson