Que sont les i.i.d. Variables aléatoires? (Définition & Exemples)

En statistique, les variables aléatoires sont dites iid – distribuées indépendamment et de manière identique – si les deux conditions suivantes sont remplies :

(1) Indépendant – Le résultat d’un événement n’affecte pas le résultat d’un autre.

(2) Identiquement distribué – La distribution de probabilité de chaque événement est identique.

Les scénarios suivants illustrent des exemples de variables aléatoires iid dans la pratique.

Exemple 1 : Lancer une pièce de monnaie

Supposons que nous lancions une pièce 10 fois et que nous gardions une trace du nombre de fois où la pièce tombe sur face.

Il s’agit d’un exemple de variable aléatoire distribuée indépendamment et de manière identique car les deux conditions suivantes sont remplies :

(1) Indépendant – Le résultat d’un tirage à pile ou face n’affecte pas le résultat d’un autre tirage à pile ou face. Chaque lancer est indépendant.

(2) Distribuée à l’identique – La probabilité qu’une pièce tombe sur face lors d’un lancer donné est de 0,5. Cette probabilité ne change pas d’un lancer à l’autre.

Exemple 2 : Lancer un dé

Supposons que nous lançons un dé 50 fois et que nous gardons une trace du nombre de fois où le dé atterrit sur le chiffre 4.

Il s’agit d’un exemple de variable aléatoire distribuée indépendamment et de manière identique car les deux conditions suivantes sont remplies :

(1) Indépendant – Le résultat d’un lancer de dés n’affecte pas le résultat d’un autre lancer de dés. Chaque rouleau est indépendant.

(2) Répartis à l’identique – La probabilité qu’un dé atterrisse sur « 4 » lors d’un lancer donné est de 1/6. Cette probabilité ne change pas d’un lancer à l’autre.

Exemple 3 : Faire tourner une toupie

Supposons que nous fassions tourner 100 fois une roulette divisée également en quatre couleurs (rouge, bleu, vert et violet) et que nous gardions une trace du nombre de fois où elle atterrit sur le violet.

Il s’agit d’un exemple de variable aléatoire distribuée indépendamment et de manière identique car les deux conditions suivantes sont remplies :

(1) Indépendant – Le résultat d’un tour n’affecte pas le résultat d’un autre tour. Chaque tour est indépendant.

(2) Distribué à l’identique – La probabilité que la roulette atterrisse sur le violet lors d’un tour donné est de 0,25. Cette probabilité ne change pas d’un tour à l’autre.

Exemple 4 : Choisir une carte

Un jeu de cartes standard contient 52 cartes, dont 4 reines. Supposons que nous piochions au hasard une carte dans un jeu standard, puis que nous replacions la carte dans le jeu. Supposons que nous répétions cela 100 fois et que nous gardions une trace du nombre de fois où nous tirons une reine.

Il s’agit d’un exemple de variable aléatoire distribuée indépendamment et de manière identique car les deux conditions suivantes sont remplies :

(1) Indépendant – Le résultat d’un tirage au sort n’affecte pas le résultat d’un autre tirage au sort. Chaque tirage est indépendant.

(2) Distribuée à l’identique – La probabilité que nous choisissions une reine lors d’un tirage donné est de 4/52. Cette probabilité ne change pas d’un tirage à l’autre.

Ressources additionnelles

Une introduction aux variables aléatoires
Qu’est-ce que l’hypothèse d’indépendance dans les statistiques ?