Qu’est-ce qu’un espace d’échantillonnage ? Définition & Exemples

L’ espace échantillon d’une expérience est l’ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience.

Par exemple, supposons que nous lançons un dé une fois. L’espace échantillon des résultats possibles comprend :

Espace d’échantillonnage = 1, 2, 3, 4, 5, 6

En utilisant la notation, nous écrivons le symbole de l’espace échantillon sous la forme d’un S cursif et les résultats entre parenthèses comme suit :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemples d’espaces d’échantillonnage

Voici quelques exemples supplémentaires d’espaces d’échantillonnage :

Exemple 1 : tirage au sort

Supposons que nous lancions une pièce de monnaie une fois. Si nous laissons H = la pièce atterrit sur face et T = la pièce atterrit sur face, alors l’espace échantillon pour ce tirage au sort est :

S = {H, T}

Exemple 2 : Billes dans un sac

Supposons que nous sélectionnions au hasard une bille dans un sac contenant trois billes : une bille rouge, une bille verte et une bille bleue. Si nous laissons R = rouge, G = vert et B = bleu, alors l’espace échantillon est :

S = {R, V, B}

Exemple 3 : lancer de pièces et lancer de dés

Supposons que nous lançons une pièce de monnaie et lançons un dé en même temps. Si nous laissons H1 représenter le résultat d’un « Tête » et d’un « 1 », alors l’espace échantillon pour les résultats est :

S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

Le principe fondamental du comptage

Le principe fondamental du comptage est une manière de calculer le nombre total de résultats potentiels d’une expérience.

Ce principe stipule que si l’événement A a n résultats distincts et que l’événement B a m résultats distincts, alors le nombre total de résultats potentiels peut être calculé comme suit :

Résultats totaux = m * n

Exemple 1 : lancer de pièces et lancer de dés

Par exemple, si nous lançons une pièce de monnaie et lançons un dé en même temps, alors le nombre total de résultats dans l’espace échantillon peut être calculé comme suit :

Résultats totaux = (2 façons dont une pièce peut atterrir) * (6 façons dont un dé peut atterrir) = 12 résultats possibles.

Nous avons écrit ces 12 résultats dans l’exemple précédent :

S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

Exemple 2 : Compter les combinaisons de tenues

Ce principe peut également être utilisé pour calculer les résultats totaux dans un espace échantillon pour plus de deux événements.

Par exemple, supposons qu’un tiroir aléatoire contienne 3 chemises différentes, 4 pantalons différents et 2 chaussettes différentes. Si nous sélectionnons au hasard un vêtement chacun sans regarder, le nombre total de tenues possibles serait calculé comme suit :

Total des tenues = 3 * 4 * 2 = 24 tenues possibles

Visualisation d’espaces d’échantillonnage avec des diagrammes arborescents

Lorsque le nombre de résultats dans un espace échantillon est important, il peut être utile de construire un diagramme arborescent pour visualiser les différentes combinaisons de résultats.

Par exemple, supposons qu’un placard contienne 2 chemises différentes, 2 pantalons différents et 2 chaussettes différentes. Si nous sélectionnons au hasard un vêtement chacun sans regarder, le nombre total de tenues possibles pourrait être visualisé comme suit :

Ce diagramme nous aide à visualiser les huit résultats potentiels différents dans l’espace échantillon.

Nous pouvons également utiliser le principe fondamental du comptage pour confirmer qu’il doit y avoir huit résultats différents :

Résultats totaux = 2 chemises * 2 pantalons * 2 chaussettes = 8 tenues possibles

Calcul des probabilités de résultats dans des espaces d’échantillonnage

Une fois que nous avons identifié l’espace échantillon d’une expérience, nous pouvons calculer la probabilité qu’un événement A se produise en utilisant la formule suivante :

P(A) = (Espace d’échantillonnage de A) / (Espace d’échantillonnage total)

Par exemple, supposons que nous lançons un dé une fois. L’espace échantillon peut s’écrire sous la forme :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si nous définissons l’événement A comme le dé atterrissant sur le nombre « 2 », alors l’espace échantillon de l’événement A peut s’écrire comme suit :

S = {2}

Ainsi, la probabilité que l’événement A se produise peut être calculée comme suit :

P(A) = 1/6

Si nous définissons l’événement A comme le dé atterrissant sur un nombre pair, alors l’espace échantillon de l’événement A peut s’écrire comme suit :

S = {2, 4, 6}

Ainsi, la probabilité que l’événement A se produise peut être calculée comme suit :

P(A) = 3/6