La correction de Bonferroni : définition & Exemple

Chaque fois que vous effectuez un test d’hypothèse , il y a toujours un risque de commettre une erreur de type I. C’est à ce moment-là que vous rejetez l’hypothèse nulle alors qu’elle est réellement vraie.

Nous appelons parfois cela un « faux positif » – lorsque nous prétendons qu’il y a un effet statistiquement significatif, alors qu’en réalité il n’y en a pas.

Lorsque nous effectuons un test d’hypothèse, le taux d’erreur de type I est égal au niveau de signification (α), qui est généralement choisi comme étant 0,01, 0,05 ou 0,10. Cependant, lorsque nous effectuons plusieurs tests d’hypothèses à la fois, la probabilité d’obtenir un faux positif augmente.

Lorsque nous effectuons plusieurs tests d’hypothèses à la fois, nous devons faire face à ce que l’on appelle le taux d’erreur familial , c’est-à-dire la probabilité qu’au moins un des tests produise un faux positif. Cela peut être calculé comme suit :

Taux d’erreur par famille = 1 – (1-α) ⁿ

où:

• α : le niveau de signification pour un test d’hypothèse unique
• n : Le nombre total de tests

Si nous effectuons un seul test d’hypothèse en utilisant α = 0,05, la probabilité que nous commettions une erreur de type I n’est que de 0,05.

Taux d’erreur par famille = 1 – (1-α) ^c = 1 – (1-.05) ¹ = 0.05

Si nous effectuons deux tests d’hypothèse à la fois et utilisons α = 0,05 pour chaque test, la probabilité que nous commettions une erreur de type I passe à 0,0975.

Taux d’erreur par famille = 1 – (1-α) ^c = 1 – (1-.05) ² = 0,0975

Et si nous effectuons cinq tests d’hypothèses à la fois en utilisant α = 0,05 pour chaque test, la probabilité que nous commettions une erreur de type I passe à 0,2262.

Taux d’erreur par famille = 1 – (1-α) ^c = 1 – (1-.05) ⁵ = 0,2262

Il est facile de voir que plus nous augmentons le nombre de tests statistiques, plus la probabilité de commettre une erreur de type I avec au moins un des tests augmente rapidement.

Une façon de résoudre ce problème consiste à utiliser une correction de Bonferroni.

Qu’est-ce qu’une correction Bonferroni ?

Une correction de Bonferroni fait référence au processus d’ajustement du niveau alpha (α) pour une famille de tests statistiques afin de contrôler la probabilité de commettre une erreur de type I.

La formule d’une correction Bonferroni est la suivante :

α _nouveau = α _original / n

où:

• α _original : Le niveau α d’origine
• n : Le nombre total de comparaisons ou de tests effectués

Par exemple, si nous effectuons trois tests statistiques à la fois et souhaitons utiliser α = 0,05 pour chaque test, la correction de Bonferroni nous indique que nous devons utiliser α _new = 0,01667 .

α _nouveau = α _original / n = 0,05 / 3 = 0,01667

Ainsi, nous ne devrions rejeter l’hypothèse nulle de chaque test individuel que si la valeur p du test est inférieure à 0,01667.

Correction de Bonferroni : un exemple

Supposons qu’un professeur veuille savoir si trois techniques d’étude différentes conduisent ou non à des résultats d’examen différents parmi les étudiants.

Pour tester cela, elle assigne au hasard 30 étudiants à utiliser chaque technique d’étude. Après une semaine d’utilisation de la technique d’étude qui lui a été assignée, chaque étudiant passe le même examen.

Elle effectue ensuite une ANOVA unidirectionnelle et constate que la valeur p globale est de 0,0476 . Comme ce chiffre est inférieur à 0,05, elle rejette l’hypothèse nulle de l’ANOVA unidirectionnelle et conclut que chaque technique d’étude ne produit pas la même note moyenne à l’examen.

Pour découvrir quelles techniques d’étude produisent des scores statistiquement significatifs, elle effectue les tests t par paires suivants :

• Technique 1 contre Technique 2
• Technique 1 contre Technique 3
• Technique 2 contre Technique 3

Elle veut contrôler la probabilité de commettre une erreur de type I à α = 0,05. Puisqu’elle effectue plusieurs tests à la fois, elle décide d’appliquer une correction de Bonferroni et d’utiliser α _new = .01667 .

α _nouveau = α _original / n = 0,05 / 3 = 0,01667

Elle procède ensuite à des tests T pour chaque groupe et constate ce qui suit :

• Technique 1 contre Technique 2 | valeur p = 0,0463
• Technique 1 contre Technique 3 | valeur p = 0,3785
• Technique 2 contre Technique 3 | valeur p = 0,0114

Étant donné que la valeur p pour la technique 2 par rapport à la technique 3 est la seule valeur p inférieure à 0,01667, elle conclut qu’il n’y a qu’une différence statistiquement significative entre la technique 2 et la technique 3.

Ressources additionnelles

Calculateur de correction Bonferroni
Comment effectuer une correction de Bonferroni dans R