Qu’est-ce que la propagation des erreurs ? (Définition & #038; Exemple)
La propagation des erreurs se produit lorsque vous mesurez certaines quantités a , b , c , … avec des incertitudes δ a , δ b , δc … et que vous souhaitez ensuite calculer une autre quantité Q en utilisant les mesures de a , b , c , etc.
Il s’avère que les incertitudes δ a , δ b , δc se propageront (c’est-à-dire « s’étendront ») jusqu’à l’incertitude de Q.
Pour calculer l’incertitude de Q , notée δ Q , on peut utiliser les formules suivantes.
Remarque : Pour chacune des formules ci-dessous, on suppose que les quantités a , b , c , etc. comportent des erreurs aléatoires et non corrélées .
Addition ou soustraction
Si Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)
Alors δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
Exemple : Supposons que vous mesuriez la longueur d’une personne du sol jusqu’à sa taille à 40 pouces ± 0,18 pouces. Vous mesurez ensuite la longueur d’une personne de sa taille au sommet de sa tête à 30 pouces ± 0,06 pouces.
Supposons que vous utilisiez ensuite ces deux mesures pour calculer la taille totale de la personne. La hauteur serait calculée comme suit : 40 pouces + 30 pouces = 70 pouces. L’incertitude de cette estimation serait calculée comme suit :
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δQ = 0,1897
Cela nous donne une mesure finale de 70 ± 0,1897 pouces.
Multiplication ou Division
Si Q = (ab…c) / (xy…z)
Alors δ Q = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
Exemple : Supposons que vous souhaitiez mesurer le rapport entre la longueur de l’élément a et celle de l’élément b . Vous mesurez la longueur de a à 20 pouces ± 0,34 pouces et la longueur de b à 15 pouces ± 0,21 pouces.
Le rapport défini comme Q = a/b serait calculé comme suit : 20/15 = 1,333 . L’incertitude de cette estimation serait calculée comme suit :
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1,333| * √ (.34/20) 2 + (.21/15) 2
- δQ = 0,0294
Cela nous donne un rapport final de 1,333 ± 0,0294 pouces.
Quantité mesurée multipliée par le nombre exact
Si A est connu exactement et Q = A x
Alors δ Q = |A|δx
Exemple : Supposons que vous mesuriez le diamètre d’un cercle comme étant de 5 mètres ± 0,3 mètre. Vous utilisez ensuite cette valeur pour calculer la circonférence du cercle c = πd .
La circonférence serait calculée comme c = πd = π*5 = 15,708 . L’incertitude de cette estimation serait calculée comme suit :
- δQ = |A|δx
- δ Q = | π | * 0,3
- δQ = 0,942
Ainsi, la circonférence du cercle est de 15,708 ± 0,942 mètres.
Incertitude dans un pouvoir
Si n est un nombre exact et Q = x n
Alors δ Q = | Q | * | n | * (δ x/x )
Exemple : Supposons que vous mesuriez le côté d’un cube comme étant s = 2 pouces ± 0,02 pouces. Vous utilisez ensuite cette valeur pour calculer le volume du cube v = s 3 .
Le volume serait calculé comme suit : v = s 3 = 2 3 = 8 pouces 3 . L’incertitude de cette estimation serait calculée comme suit :
- δ Q = | Q | * | n | * (δ x/x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0,24
Ainsi, le volume du cube est de 8 ± 0,24 po. 3 .
Formule générale de propagation des erreurs
Si Q = Q(x) est une fonction de x , alors la formule générale de propagation des erreurs peut être définie comme suit :
δQ = |dQ / dX |δx
Notez que vous devrez rarement dériver ces formules à partir de zéro, mais il peut être utile de connaître la formule générale utilisée pour les dériver.
à propos de l'auteur
Dr. Benjamin Anderson
Il est un professeur de statistiques à la retraite devenu éducateur dévoué sur Statorials. Avec une vaste expérience et une expertise dans le domaine des statistiques, je m'engage à partager mes connaissances pour responsabiliser les étudiants grâce à Statorials. Lire plus