Test Z à deux proportions : définition, formule et exemple

Un test z à deux proportions est utilisé pour tester une différence entre deux proportions de population.

Ce tutoriel explique les éléments suivants :

• La motivation pour effectuer un test z à deux proportions.
• La formule pour effectuer un test z à deux proportions.
• Un exemple de la façon d’effectuer un test z à deux proportions.

Test Z à deux proportions : motivation

Supposons que nous voulions savoir s’il existe une différence entre la proportion d’habitants qui soutiennent une certaine loi dans le comté A et la proportion qui soutient la loi dans le comté B.

Étant donné qu’il y a des milliers d’habitants dans chaque comté, il serait trop long et trop coûteux de faire le tour et d’enquêter sur chaque résident individuel de chaque comté.

Au lieu de cela, nous pourrions prendre un échantillon aléatoire simple de résidents de chaque comté et utiliser la proportion en faveur de la loi dans chaque échantillon pour estimer la véritable différence de proportions entre les deux comtés :

Cependant, il est pratiquement garanti que la proportion de résidents favorables à la loi sera au moins un peu différente entre les deux échantillons. La question est de savoir si cette différence est statistiquement significative . Heureusement, un test z à deux proportions nous permet de répondre à cette question.

Test Z à deux proportions : formule

Un test z à deux proportions utilise toujours l’hypothèse nulle suivante :

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (les deux proportions de population sont égales)

L’hypothèse alternative peut être bilatérale, à gauche ou à droite :

• H ₁ (bilatéral) : π ₁ ≠ π ₂ (les deux proportions de population ne sont pas égales)
• H ₁ (à gauche) : π ₁ < π ₂ (la proportion de la population 1 est inférieure à la proportion de la population 2)
• H ₁ (à droite) : π ₁ > π ₂ (la proportion de la population 1 est supérieure à la proportion de la population 2)

Nous utilisons la formule suivante pour calculer la statistique de test z :

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ )

où p ₁ et p ₂ sont les proportions de l’échantillon, n ₁ et n ₂ sont les tailles d’échantillon, et où p est la proportion totale regroupée calculée comme suit :

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ + n ₂ )

Si la valeur p qui correspond à la statistique de test z est inférieure au niveau de signification choisi (les choix courants sont 0,10, 0,05 et 0,01), vous pouvez alors rejeter l’hypothèse nulle.

Test Z à deux proportions : exemple

Supposons que nous voulions savoir s’il existe une différence entre la proportion d’habitants qui soutiennent une certaine loi dans le comté A et la proportion qui soutient la loi dans le comté B.

Pour tester cela, nous effectuerons un test z à deux proportions au niveau de signification α = 0,05 en suivant les étapes suivantes :

Étape 1 : Rassemblez les exemples de données.

Supposons que nous collections un échantillon aléatoire de résidents de chaque comté et que nous obtenions les informations suivantes :

Échantillon 1 :

• Taille de l’échantillon n ₁ = 50
• Proportion en faveur de la loi p ₁ = 0,67

Échantillon 2 :

• Taille de l’échantillon n ₂ = 50
• Proportion en faveur de la loi p ₂ = 0,57

Étape 2 : Définir les hypothèses.

Nous effectuerons le test z à deux proportions avec les hypothèses suivantes :

• H ₀ : π ₁ = π ₂ (les deux proportions de population sont égales)
• H ₁ : π ₁ ≠ π ₂ (les deux proportions de population ne sont pas égales)

Étape 3 : Calculez la statistique de test z .

Tout d’abord, nous calculerons la proportion totale mutualisée :

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ +n ₂ ) = (0,67(50) + 0,57(50))/(50+50) = 0,62

Ensuite, nous calculerons la statistique de test z :

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ ) = (.67-.57) / √ .62(1-.62)(1/50 + 1/50 ) = 1,03

Étape 4 : Calculez la valeur p de la statistique de test z .

Selon lecalculateur de score Z à valeur P , la valeur p bilatérale associée à z = 1,03 est 0,30301 .

Étape 5 : Tirez une conclusion.

Puisque cette valeur p n’est pas inférieure à notre niveau de signification α = 0,05, nous ne parvenons pas à rejeter l’hypothèse nulle. Nous ne disposons pas de preuves suffisantes pour affirmer que la proportion de résidents favorables à cette loi est différente entre les deux comtés.

Remarque : Vous pouvez également effectuer l’intégralité de ce test Z à deux proportions en utilisant simplement le calculateur de test Z à deux proportions .

Ressources additionnelles

Les didacticiels suivants expliquent comment effectuer un test z à deux proportions à l’aide de divers logiciels statistiques :

Comment effectuer un test Z à deux proportions dans Excel
Comment effectuer un test Z à deux proportions dans SAS
Calculateur de test Z à deux proportions