Expériences binomiales : une explication + des exemples

Comprendre les expériences binomiales est la première étape pour comprendre la distribution binomiale .

Ce didacticiel définit une expérience binomiale et fournit plusieurs exemples d’expériences qui sont ou non considérées comme des expériences binomiales.

Expérience binomiale : définition

Une expérience binomiale est une expérience qui possède les quatre propriétés suivantes :

1. L’expérience consiste en n essais répétés. Le nombre n peut être n’importe quel montant. Par exemple, si nous lançons une pièce 100 fois, alors n = 100.

2. Chaque essai n’a que deux résultats possibles. Nous appelons souvent les résultats un « succès » ou un « échec », mais un « succès » n’est qu’une étiquette pour quelque chose que nous comptons. Par exemple, lorsque nous lançons une pièce de monnaie, nous pourrions appeler une face un « succès » et une pile un « échec ».

3. La probabilité de succès, notée p , est la même pour chaque essai. Pour qu’une expérience soit une véritable expérience binomiale, la probabilité de « succès » doit être la même pour chaque essai. Par exemple, lorsque nous tirons à pile ou face, la probabilité d’obtenir face (« succès ») est toujours la même à chaque fois que nous tirons à pile ou face.

4. Chaque essai est indépendant . Cela signifie simplement que l’issue d’un procès n’affecte pas l’issue d’un autre procès. Par exemple, supposons que nous lançons une pièce et qu’elle tombe sur face. Le fait qu’il ait atterri sur face ne change rien à la probabilité qu’il atterrisse sur face au prochain lancer. Chaque flip (c’est-à-dire chaque « essai ») est indépendant.

Exemples d’expériences binomiales

Les expériences suivantes sont toutes des exemples d’expériences binomiales.

Exemple 1

Lancez une pièce 10 fois. Enregistrez le nombre de fois où il atterrit sur pile.

Il s’agit d’une expérience binomiale car elle possède les quatre propriétés suivantes :

• L’expérience consiste en n essais répétés. Dans ce cas, il y a 10 essais.
• Chaque essai n’a que deux résultats possibles. La pièce ne peut atterrir que sur pile ou sur face.
• La probabilité de succès est la même pour chaque essai . Si nous définissons le « succès » comme un atterrissage sur tête, alors la probabilité de succès est exactement de 0,5 pour chaque essai.
• Chaque essai est indépendant . Le résultat d’un tirage au sort n’affecte pas le résultat de tout autre tirage au sort.

Exemple n°2

Lancez 20 fois un dé équitable à 6 faces. Enregistrez le nombre de fois où un 2 apparaît.

Il s’agit d’une expérience binomiale car elle possède les quatre propriétés suivantes :

• L’expérience consiste en n essais répétés. Dans ce cas, il y a 20 essais.
• Chaque essai n’a que deux résultats possibles. Si nous définissons un 2 comme un « succès », alors à chaque fois le dé tombe soit sur un 2 (un succès), soit sur un autre nombre (un échec).
• La probabilité de succès est la même pour chaque essai . Pour chaque essai, la probabilité que le dé tombe sur un 2 est de 1/6. Cette probabilité ne change pas d’un essai à l’autre.
• Chaque essai est indépendant . Le résultat d’un jet de dé n’affecte pas le résultat des autres lancers de dé.

Exemple n°3

Tyler réussit 70 % de ses tentatives de lancer franc. Supposons qu’il fasse 15 tentatives. Enregistrez le nombre de paniers qu’il fabrique.

Il s’agit d’une expérience binomiale car elle possède les quatre propriétés suivantes :

• L’expérience consiste en n essais répétés. Dans ce cas, il y a 15 essais.
• Chaque essai n’a que deux résultats possibles. À chaque tentative, soit Tyler réussit le panier, soit il le rate.
• La probabilité de succès est la même pour chaque essai . Pour chaque essai, la probabilité que Tyler réussisse le panier est de 70 %. Cette probabilité ne change pas d’un essai à l’autre.
• Chaque essai est indépendant . Le résultat d’une tentative de lancer franc n’affecte pas le résultat de toute autre tentative de lancer franc.

Exemples qui ne sont pas des expériences binomiales

Exemple 1

Demandez à 100 personnes quel âge elles ont .

Il ne s’agit pas d’une expérience binomiale car il y a plus de deux résultats possibles.

Exemple n°2

Lancez un dé équitable à 6 faces jusqu’à ce qu’un 5 apparaisse.

Il ne s’agit pas d’une expérience binomiale car il n’y a pas de nombre n d’essais prédéfini. Nous n’avons aucune idée du nombre de lancers qu’il faudra jusqu’à ce qu’un 5 apparaisse.

Exemple n°3

Tirez 5 cartes d’un jeu de cartes.

Il ne s’agit pas d’une expérience binomiale car le résultat d’un essai (par exemple tirer une certaine carte du jeu) affecte le résultat des essais suivants.

Un exemple et une solution d’expérience binomiale

L’exemple suivant montre comment résoudre une question concernant une expérience binomiale.

Vous lancez une pièce 10 fois. Quelle est la probabilité que la pièce tombe exactement 7 fois sur face ?

Chaque fois que nous souhaitons trouver la probabilité de n succès dans une expérience binomiale, nous devons utiliser la formule suivante :

P(exactement k succès) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

où:

• n : le nombre d’essais
• k : le nombre de réussites
• C : le symbole de « combinaison »
• p : probabilité de succès sur un essai donné

En insérant ces nombres dans la formule, nous obtenons :

P(7 têtes) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (.0078125) * (.125) = 0,11719 .

Ainsi, la probabilité que la pièce tombe 7 fois sur face est de 0,11719 .