Probabilité de l’union des événements

Dans cet article, nous expliquons comment calculer la probabilité d’union d’événements. Vous découvrirez donc quelle est la formule de la probabilité de l’union des événements et, en plus, des exercices résolus étape par étape.

Qu’est-ce que l’union des événements ?

En théorie des probabilités, l’ union d’événements est une opération à événements dont le résultat est composé de tous les événements élémentaires des ensembles de l’opération. Autrement dit, l’union de deux événements A et B est l’ensemble des événements qui se trouvent dans A, dans B ou dans les deux.

L’union de deux événements s’exprime par le symbole ⋃. Ainsi, l’union des événements A et B s’écrit A⋃B.

Par exemple, dans l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé, si un événement lance un nombre impair A={1, 3, 5} et qu’un autre événement lance un nombre inférieur à trois B={1, 2}, l’union de les deux événements sont A⋃B={1, 2, 3, 5}.

Formule pour la probabilité de l’union des événements

La probabilité d’union de deux événements est égale à la probabilité du premier événement plus la probabilité du deuxième événement moins la probabilité d’intersection des deux événements.

Autrement dit, la formule de la probabilité de l’union de deux événements est P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

Où:

• est la probabilité de l’union de l’événement A et de l’événement B.
• est la probabilité que l’événement A se produise.
• est la probabilité que l’événement B se produise.
• est la probabilité de l’intersection de l’événement A et de l’événement B.

Cependant, si les deux événements sont incompatibles, l’intersection entre les deux événements est nulle. Par conséquent, la probabilité d’union de deux événements incompatibles est calculée en additionnant la probabilité d’occurrence de chaque événement.

Exemples résolus de probabilité d’union d’événements

Pour que vous puissiez voir comment est calculée la probabilité d’union de deux événements, nous vous laissons ci-dessous deux exemples résolus étape par étape. On trouvera d’abord la probabilité de l’union de deux événements incompatibles puis de deux événements compatibles, puisque le calcul est légèrement différent.

Probabilité de l’union de deux événements incompatibles

• On met 10 boules bleues, 6 boules orange et 4 boules vertes dans une boîte. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ou orange ?

L’exercice nous demande de déterminer la probabilité qu’un événement ou un autre se produise. Par conséquent, pour résoudre le problème, nous devons utiliser la formule de l’union de deux événements :

Ainsi, nous calculons d’abord la probabilité que chaque événement se produise séparément en utilisant la formule de la règle de Laplace :

Cependant, dans ce cas, les deux événements ne peuvent pas se produire en même temps, car ce sont deux événements incompatibles. Donc si on tire une boule bleue on ne peut plus tirer une boule orange, et vice versa.

Par conséquent, la probabilité conjointe des deux événements est nulle et, par conséquent, la formule est simplifiée :

Ainsi le calcul de la probabilité d’attraper une boule bleue ou une boule orange est le suivant :

En bref, la probabilité de retirer une boule bleue ou orange de la boîte est de 80 %.

Probabilité de l’union de deux événements compatibles

• Si nous lançons une pièce deux fois, quelle est la probabilité d’obtenir « face » à au moins un lancer ?

Dans ce cas, les événements sont compatibles, puisque nous pouvons obtenir « face » au premier lancer et « face » au deuxième lancer. Par conséquent, la formule pour calculer la probabilité d’union d’événements n’est pas simplifiée et est la suivante :

Donc, nous devons d’abord calculer la probabilité d’obtenir « face » sur un tirage au sort en appliquant la règle de Laplace :

Calculons maintenant la probabilité de l’intersection des deux événements en utilisant la formule de la règle de multiplication :

Enfin, pour trouver la probabilité que face tombe dans au moins un des deux lancers, il suffit de substituer les valeurs dans la formule et de faire le calcul :

En conclusion, la probabilité que lorsque vous lancez une pièce deux fois, elle tombe face au moins une fois est de 75 %.

Propriétés des unions d’événements

En théorie des probabilités, le fonctionnement de l’union d’événements répond aux propriétés suivantes :

• Propriété commutative : l’ordre des événements dans l’union ne modifie pas le résultat de l’opération.

• Propriété associative : l’union de trois événements peut être calculée dans n’importe quel ordre, puisque le résultat est le même.

• Propriété distributive : l’union des événements réalise la propriété distributive avec l’intersection des événements.