Propriétés de probabilité

Par Pr Amélia Rodriguez août 1, 2023 Probabilité 0 commentaire

Dans cet article, nous expliquons quelles sont les propriétés de probabilité et, en outre, vous pourrez voir un exemple concret de chaque propriété de probabilité.

Quelles sont les propriétés de la probabilité ?

Les propriétés de la probabilité sont :

La probabilité d’un événement est équivalente à un moins la probabilité de son événement opposé.
La probabilité d’un événement impossible est toujours nulle.
Si un événement est inclus dans un autre événement, la probabilité du premier événement doit être inférieure ou égale à la probabilité du deuxième événement.
La probabilité d’union de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité de leur intersection.
Étant donné un ensemble d’événements incompatibles deux à deux, leur probabilité conjointe est calculée en additionnant la probabilité d’occurrence de chaque événement.
La somme des probabilités de tous les événements élémentaires dans un espace échantillon est égale à 1.

Ceci est simplement un résumé de ce que sont les propriétés de base de la probabilité. Vous trouverez ci-dessous une explication plus détaillée et des exemples concrets de chaque propriété.

Propriété 1

La probabilité d’un événement est équivalente à un moins la probabilité de son événement opposé. Par conséquent, la somme de la probabilité d’un événement plus la probabilité de son événement opposé est égale à 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Par exemple, la probabilité d’obtenir le nombre 5 en lançant un dé est de 0,167, puisque nous pouvons déterminer la probabilité d’obtenir n’importe quel autre nombre en utilisant cette propriété probabiliste :

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Propriété 2

La probabilité d’un événement impossible est de 0. Logiquement, si un certain résultat d’une expérience aléatoire ne peut pas se produire, sa probabilité d’occurrence est nulle.

$P(\varnothing)=0$

Par exemple, nous ne pouvons pas obtenir le résultat du nombre 7 en lançant un seul dé, donc la probabilité de cet événement est égale à zéro.

$P(7)=0$

Propriété 3

Si un événement est inclus dans un autre événement, la probabilité du premier événement doit être inférieure ou égale à la probabilité du deuxième événement.

Évidemment, si un événement est inclus dans un ensemble d’événements, la probabilité d’occurrence d’un événement unique ne peut pas être supérieure à celle de l’ensemble entier.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Par exemple, la probabilité d’obtenir le chiffre 4 en lançant un dé est de 0,167. En revanche, la probabilité d’obtenir un nombre pair (2, 4, 6) est de 0,50. Cette propriété de la théorie des probabilités est donc satisfaite.

$P(4)=0,167$

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero par})&=P(2)+P(4)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

$P(4)<h3 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="propiedad-4"></span> Propriété 4<span class="ez-toc-section-end"></span></h3> La probabilité d'union de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité de leur intersection. En théorie des probabilités, cette propriété est connue sous le nom de règle de somme et sa formule est la suivante :[latex]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Vous pouvez voir des exemples concrets d’application de cette propriété en cliquant ici :

➤ Voir : Exemple résolu de la règle d’addition

Propriété 5

Étant donné un ensemble d’événements incompatibles deux par deux, leur probabilité conjointe peut être calculée en additionnant la probabilité d’occurrence de chaque événement.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Par exemple, les différents résultats du lancer d’un dé sont des événements incompatibles, car si l’on lance un chiffre, on ne peut plus en obtenir un autre. Ainsi, pour trouver la probabilité d’obtenir un nombre impair on peut additionner la probabilité d’apparition des différents nombres impairs :

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero impar})&=P(1\cup3\cup5)\\[2ex]&=P(1)+P(3)+P(5)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

Propriété 6

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires dans un espace échantillon est égale à 1.

Évidemment, une expérience aléatoire doit aboutir à un événement élémentaire dans l’espace échantillon, donc un événement élémentaire dans l’espace échantillon se produira toujours, et donc la probabilité totale d’occurrence dans l’espace échantillon doit être de 100 %.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

Par exemple, l’espace échantillon pour lancer un dé est Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, donc la somme des probabilités de tous les résultats possibles est équivalente à 1 :

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

$\begin{aligned}P(\Omega)&=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=1\end{aligned}$

Axiomes de probabilité

En plus des propriétés de probabilité que nous venons de voir, il faut garder à l’esprit qu’il existe également les axiomes de probabilité, qui sont les principales règles qui définissent les probabilités des événements.

Ainsi, les axiomes de probabilité sont les suivants :

Axiome de probabilité 1 : la probabilité d’un événement ne peut pas être négative.
Axiome de probabilité 2 : la probabilité d’un certain événement est 1.
Axiome de probabilité 3 : la probabilité d’un ensemble d’événements exclusifs est égale à la somme de toutes les probabilités.

Vous pouvez en savoir plus sur les axiomes de probabilité et des exemples de leur application ici :

➤ Voir : Axiomes de probabilité

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus