Estimateur

Cet article explique ce qu’est un estimateur en statistique et quelles sont les propriétés d’un bon estimateur. De plus, vous pourrez voir des exemples d’estimateurs et les différents types d’estimations qui existent en statistique.

Qu’est-ce qu’un estimateur ?

En statistiques, un estimateur est une statistique utilisée pour estimer la valeur d’un paramètre de population. Autrement dit, un estimateur est utilisé pour estimer un paramètre inconnu d’une population.

Par exemple, la moyenne de l’échantillon est un estimateur de la moyenne de la population. Vous pouvez ainsi calculer la moyenne arithmétique d’un échantillon et utiliser cette valeur comme approximation de la moyenne de la population.

Les estimateurs par échantillonnage sont très courants en statistique, car normalement tous les éléments d’une population ne sont pas connus et, par conséquent, les paramètres statistiques de la population ne peuvent pas être calculés. Ensuite, un échantillon aléatoire est choisi et les mesures statistiques de l’échantillon sont déterminées, puis, sur la base des calculs effectués, les paramètres de la population peuvent être approximés.

Caractéristiques d’un bon estimateur

Une fois que nous avons vu la définition d’un estimateur, voyons quelles caractéristiques doit avoir un bon estimateur pour mieux comprendre le concept.

1. Sans biais : un estimateur sans biais est celui dont la valeur d’échantillon est égale à la valeur de la population. Ainsi, plus le biais d’un estimateur est grand, moins il sera précis. C’est pourquoi nous souhaitons que le biais de l’estimateur ponctuel soit faible, afin que la différence entre la valeur de l’estimateur ponctuel et la valeur réelle soit la plus proche possible de zéro.
2. Cohérence : un estimateur cohérent est celui qui, à mesure que la taille de l’échantillon augmente, sa valeur se rapproche de la valeur réelle du paramètre. Ainsi, plus la taille de l’échantillon est grande, meilleure est l’estimation réalisée.
3. Efficacité : Plus la variance de la distribution d’échantillonnage de l’estimateur ponctuel est petite, plus l’efficacité de l’estimateur ponctuel est grande. Ainsi, nous souhaitons que l’estimateur ponctuel soit efficace afin que la variance soit faible. Par conséquent, si l’on se fie uniquement à cette caractéristique, entre deux estimateurs ponctuels on choisira toujours l’estimateur ayant la plus grande efficacité (ou la plus faible variance).
4. Robustesse : un estimateur robuste est celui qui, en cas de modification de certaines des hypothèses de départ, le résultat de l’estimation n’est pas significativement modifié.
5. Suffisance : un estimateur est suffisant s’il résume toutes les informations pertinentes sur l’échantillon dans l’estimation, de sorte qu’aucun autre estimateur ne puisse fournir des informations supplémentaires sur le paramètre de population estimé. Par conséquent, un estimateur est suffisant lorsqu’il s’agit de la meilleure statistique pouvant être choisie pour approximer le paramètre de population.

Exemples d’estimateurs

Fréquemment, les estimateurs d’échantillon suivants sont utilisés comme estimations des paramètres de population.

• L’estimation ponctuelle d’une moyenne de population est la valeur de la moyenne arithmétique de l’échantillon. En général, le symbole est utilisé pour représenter la valeur de la moyenne de l’échantillon, tandis que le symbole de la moyenne de la population est la lettre grecque µ.

• L’écart type (ou écart type) d’une population peut être estimé avec précision par la valeur de l’écart type de l’échantillon. L’écart type de la population est représenté par la lettre grecque σ et la valeur de l’écart type de l’échantillon est indiquée par la lettre s.

• La proportion d’une population peut être estimée d’une manière spécifique avec la valeur de la proportion de l’échantillon. Le symbole de la proportion de population est la lettre py, tandis que le symbole de la proportion d’échantillon est

Estimateur et estimation

Comme expliqué tout au long de l’article, un estimateur est utilisé pour estimer un paramètre de population. Cependant, il faut garder à l’esprit qu’il existe deux types d’estimations :

• Estimation ponctuelle : consiste à prendre la valeur échantillon du paramètre comme approximation de la valeur de population.
• Estimation par intervalles : consiste à approximer la valeur du paramètre de population à un intervalle, au lieu d’une valeur spécifique. Par conséquent, dans ce type d’estimation, un intervalle est calculé dans lequel la probabilité que la valeur réelle du paramètre se trouve dans l’intervalle est très élevée.

Chaque type d’estimation a ses avantages et ses inconvénients et, selon les cas, il est plus pratique d’utiliser une estimation ponctuelle ou par intervalles. Pour en savoir plus, vous pouvez rechercher nos articles correspondants dans le moteur de recherche de ce site.

Erreur d’un estimateur

En pratique, il est très difficile de faire une estimation exacte de la valeur réelle d’un paramètre, c’est pourquoi il y a souvent une erreur dans l’estimation. Logiquement, il faut essayer de minimiser l’erreur d’estimation.

Ainsi, nous définissons l’erreur d’un estimateur comme la différence entre la valeur estimée et la valeur réelle du paramètre.

Où

est la valeur de l’estimation et est la valeur réelle du paramètre.

Vous pouvez également calculer l’erreur quadratique moyenne (MSE), qui est la moyenne des erreurs quadratiques. Il convient de noter que l’erreur quadratique moyenne représente la variance de l’estimateur.