Intervalle de confiance pour la variance

Par Pr Amélia Rodriguez août 3, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est l’intervalle de confiance pour la variance et à quoi il sert dans les statistiques. De même, vous découvrirez comment calculer l’intervalle de confiance de la variance et un exercice étape par étape.

Quel est l’intervalle de confiance pour la variance ?

L’ intervalle de confiance pour la variance est un intervalle qui donne une approximation des valeurs entre lesquelles se situe la variance d’une population. Autrement dit, l’intervalle de confiance pour la variance indique la valeur maximale et la valeur minimale de la variance de la population pour un niveau de confiance.

Par exemple, si l’intervalle de confiance à 95 % pour une variance de population est (55,75), cela signifie que la variance de population sera comprise entre 55 et 75 avec une probabilité de 95 %.

Par conséquent, l’intervalle de confiance pour la variance est utilisé pour estimer deux valeurs entre lesquelles se situe la variance de la population. La variance de l’échantillon peut être calculée, mais la variance de la population est généralement inconnue, donc l’intervalle de confiance de la variance nous permet d’en approximer la valeur.

Formule d’intervalle de confiance pour la variance

Pour calculer l’intervalle de confiance pour la variance d’une population, la distribution du chi carré est utilisée. Plus précisément, la formule pour calculer l’intervalle de confiance pour la variance est la suivante :

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

Où:

$n$ est la taille de l’échantillon.
$s$ est l’écart type de l’échantillon.
$\chi_{n-1;\alpha/2}$ est la valeur de la distribution du Chi carré avec n-1 degrés de liberté pour une probabilité inférieure à α/2.
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$ est la valeur de la distribution du Chi carré avec n-1 degrés de liberté pour une probabilité supérieure à 1-α/2.

Exemple de calcul de l’intervalle de confiance pour la variance

Afin que vous puissiez mieux comprendre le concept, dans cette section, nous vous laissons un exemple résolu de la façon dont l’intervalle de confiance pour la variance est calculé.

Nous avons un échantillon de 8 observations avec les valeurs indiquées ci-dessous. Quel est l’intervalle de confiance pour la variance de la population avec un niveau de confiance de 1-α=95 % ?

206 203 201 212
194 176 208 201

Comme expliqué ci-dessus, la formule qui permet de déterminer l’intervalle de confiance de la variance de population est la suivante :

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

Par conséquent, pour trouver l’intervalle de confiance, nous devons d’abord calculer l’écart type de l’échantillon :

$s=11,13$

➤ Voir : Comment calculer l’écart type

Deuxièmement, nous examinons le tableau de distribution du chi carré pour voir quelles sont ses valeurs correspondantes dont nous avons besoin :

$\begin{array}{c}\chi_{n-1;\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,025}}=16,013\end{array}$

$\begin{array}{c}\chi_{n-1;1-\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,975}}=1,690\end{array}$

➤ Voir : Valeurs du tableau de distribution du chi carré

Nous connectons donc les valeurs dans la formule d’intervalle de confiance pour la variance et faisons le calcul :

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

$\displaystyle \left( (8-1)\frac{11,13^2}{16,013} \ , \ (8-1)\frac{11,13^2}{1,690}\right)$

$\displaystyle \left( 54,15 \ , \ 513,10\right)$

En conclusion, la variance de la population étudiée est comprise entre 54,15 et 513,10 avec un niveau de confiance de 95 %.

➤ Voir : Intervalle de confiance pour la moyenne

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Pr Amélia Rodriguez

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Quel est l’intervalle de confiance pour la variance ?

Formule d’intervalle de confiance pour la variance

Exemple de calcul de l’intervalle de confiance pour la variance

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