Distribution de probabilité discrète

Par août 3, 2023 Probabilité 0 commentaire

Cet article explique ce que sont les distributions de probabilité discrètes dans les statistiques. Ainsi, vous trouverez la signification de la distribution de probabilité discrète, des exemples de distributions de probabilité discrète et quels sont les différents types de distributions de probabilité discrète.

Qu’est-ce qu’une distribution de probabilité discrète ?

Une distribution de probabilité discrète est la distribution qui définit les probabilités d’une variable aléatoire discrète . Par conséquent, une distribution de probabilité discrète ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs (généralement des nombres entiers).

Par exemple, la distribution binomiale, la distribution de Poisson et la distribution hypergéométrique sont des distributions de probabilité discrètes.

Dans une distribution de probabilité discrète, chaque valeur de la variable discrète qui représente (x i ) est associée à une valeur de probabilité (p i ) qui va de 0 à 1. Ainsi, la somme de toutes les probabilités d’une distribution discrète donne comme résultat un.

\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i \quad i=1,2,\ldots, n\\[2ex]0\leq p_i\leq 1\\[2ex]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_i=1\end{array}

Exemples de distributions de probabilités discrètes

Maintenant que nous connaissons la définition d’une distribution de probabilité discrète, nous allons voir plusieurs exemples de ce type de distribution pour mieux comprendre le concept.

Exemples de distributions de probabilité discrètes :

  1. Le nombre de fois où le chiffre 5 est obtenu en lançant 30 fois un dé.
  2. Le nombre d’utilisateurs qui accèdent à une page Web au cours d’une journée.
  3. Le nombre d’étudiants qui ont réussi un examen sur un total de 50 étudiants.
  4. Le nombre d’unités défectueuses dans un échantillon de 100 produits.
  5. Le nombre de fois qu’une personne doit passer l’examen de conduite pour le réussir.

Types de distributions de probabilités discrètes

Les principaux types de distributions de probabilité discrètes sont les suivants :

  • Distribution uniforme discrète
  • Distribution de Bernoulli
  • Distribution binomiale
  • Distribution de Poisson
  • Distribution multinomiale
  • Distribution géométrique
  • Distribution binomiale négative
  • Distribution hypergéométrique

Chaque type de distribution de probabilité discrète est expliqué en détail ci-dessous.

Distribution uniforme discrète

La distribution uniforme discrète est une distribution de probabilité discrète dans laquelle toutes les valeurs sont équiprobables, c’est-à-dire que dans une distribution uniforme discrète, toutes les valeurs ont la même probabilité de se produire.

Par exemple, le lancer d’un dé peut être défini avec une distribution uniforme discrète, puisque tous les résultats possibles (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) ont la même probabilité d’occurrence.

En général, une distribution uniforme discrète a deux paramètres caractéristiques, a et b , qui définissent la plage de valeurs possibles que peut prendre la distribution. Ainsi, lorsqu’une variable est définie par une distribution uniforme discrète, elle s’écrit Uniform(a,b) .

X\sim \text{Uniforme}(a,b)

La distribution uniforme discrète peut être utilisée pour décrire des expériences aléatoires, car si tous les résultats ont la même probabilité, cela signifie que l’expérience est aléatoire.

Distribution de Bernoulli

La distribution de Bernoulli , également connue sous le nom de distribution dichotomique , est une distribution de probabilité qui représente une variable discrète qui ne peut avoir que deux résultats : « succès » ou « échec ».

Dans la distribution de Bernoulli, le « succès » est le résultat auquel nous nous attendons et a la valeur 1, tandis que le résultat de « l’échec » est un résultat autre que celui attendu et a la valeur 0. Ainsi, si la probabilité du le résultat du « succès » est p , la probabilité du résultat de « l’échec » est q=1-p .

\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}

La distribution de Bernoulli doit son nom au statisticien suisse Jacob Bernoulli.

En statistique, la distribution de Bernoulli a principalement une application : définir les probabilités d’expériences dans lesquelles il n’y a que deux résultats possibles : le succès et l’échec. Ainsi, une expérience qui utilise la distribution de Bernoulli est appelée test de Bernoulli ou expérience de Bernoulli.

Distribution binomiale

La distribution binomiale , également appelée distribution binomiale , est une distribution de probabilité qui compte le nombre de réussites lors de la réalisation d’une série d’expériences indépendantes et dichotomiques avec une probabilité de réussite constante. Autrement dit, la distribution binomiale est une distribution qui décrit le nombre de résultats réussis d’une séquence d’essais de Bernoulli.

Par exemple, le nombre de fois qu’une pièce apparaît « face » 25 fois est une distribution binomiale.

En général, le nombre total d’expériences réalisées est défini avec le paramètre n , tandis que p est la probabilité de réussite de chaque expérience. Ainsi, une variable aléatoire qui suit une distribution binomiale s’écrit comme suit :

X\sim\text{Bin}(n,p)

Notez que dans une distribution binomiale, la même expérience exacte est répétée n fois et les expériences sont indépendantes les unes des autres, donc la probabilité de succès de chaque expérience est la même (p) .

Distribution de Poisson

La distribution de Poisson est une distribution de probabilité qui définit la probabilité qu’un nombre donné d’événements se produisent sur une période de temps. Autrement dit, la distribution de Poisson sert à modéliser des variables aléatoires qui décrivent le nombre de fois qu’un phénomène se répète dans un intervalle de temps.

Par exemple, le nombre d’appels qu’un central téléphonique reçoit par minute est une variable aléatoire discrète qui peut être définie à l’aide de la distribution de Poisson.

La distribution de Poisson a un paramètre caractéristique, représenté par la lettre grecque λ et indique le nombre de fois où l’événement étudié devrait se produire au cours d’un intervalle donné.

X\sim \text{Poisson}(\lambda)

Distribution multinomiale

La distribution multinomiale (ou distribution multinomiale ) est une distribution de probabilité qui décrit la probabilité que plusieurs événements mutuellement exclusifs se produisent un nombre de fois donné après plusieurs essais.

Autrement dit, si une expérience aléatoire peut aboutir à trois événements exclusifs ou plus et que la probabilité que chaque événement se produise séparément est connue, la distribution multinomiale est utilisée pour calculer la probabilité que lorsque plusieurs expériences sont réalisées, un certain nombre d’événements se produisent. fois à chaque fois.

La distribution multinomiale est donc une généralisation de la distribution binomiale.

Distribution géométrique

La distribution géométrique est une distribution de probabilité qui définit le nombre d’essais de Bernoulli nécessaire pour obtenir le premier résultat réussi. Autrement dit, une distribution géométrique modélise les processus dans lesquels les expériences de Bernoulli sont répétées jusqu’à ce que l’une d’elles obtienne un résultat positif.

Par exemple, le nombre de voitures qui passent sur une route jusqu’à ce qu’elles voient une voiture jaune est une distribution géométrique.

N’oubliez pas qu’un essai Bernoulli est une expérience qui a deux résultats possibles : le « succès » et l’« échec ». Donc si la probabilité de « succès » est p , la probabilité d’« échec » est q=1-p .

La distribution géométrique dépend donc du paramètre p , qui est la probabilité de succès de toutes les expériences réalisées. De plus, la probabilité p est la même pour toutes les expériences.

X\sim\text{Geom\'etrica}(p)

Distribution binomiale négative

La distribution binomiale négative est une distribution de probabilité qui décrit le nombre d’essais de Bernoulli requis pour obtenir un nombre donné de résultats positifs.

Par conséquent, une distribution binomiale négative a deux paramètres caractéristiques : r est le nombre de résultats réussis souhaités et p est la probabilité de succès pour chaque expérience de Bernoulli réalisée.

X\sim \text{BN}(r,p)

Ainsi, une distribution binomiale négative définit un processus dans lequel autant d’essais de Bernoulli sont effectués que nécessaire pour obtenir des résultats positifs. De plus, tous ces essais de Bernoulli sont indépendants et ont une probabilité de succès constante p .

Par exemple, une variable aléatoire qui suit une distribution binomiale négative est le nombre de fois qu’un dé doit être lancé jusqu’à ce que le nombre 6 soit obtenu trois fois.

Distribution hypergéométrique

La distribution hypergéométrique est une distribution de probabilité qui décrit le nombre de cas de réussite dans une extraction aléatoire sans remplacement de n éléments d’une population.

Autrement dit, la distribution hypergéométrique est utilisée pour calculer la probabilité d’obtenir x succès lors de l’extraction de n éléments d’une population sans en remplacer aucun.

Par conséquent, la distribution hypergéométrique a trois paramètres :

  • N : est le nombre d’éléments dans la population (N = 0, 1, 2,…).
  • K : est le nombre maximum de cas de réussite (K = 0, 1, 2,…,N). Puisque dans une distribution hypergéométrique un élément ne peut être considéré que comme un « succès » ou un « échec », NK est le nombre maximum de cas d’échec.
  • n : est le nombre d’extractions sans remise qui sont effectuées.

X \sim HG(N,K,n)

Distribution de probabilité discrète et continue

Enfin, nous verrons la différence entre une distribution de probabilité discrète et une distribution de probabilité continue, puisqu’il est important de savoir distinguer ces deux types de distributions.

La différence entre une distribution discrète et une distribution continue réside dans le nombre de valeurs qu’elles peuvent prendre. Une distribution continue peut prendre n’importe quelle valeur, en revanche, une distribution discrète n’accepte aucune valeur mais ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs.

Une façon de différencier les distributions continues des distributions discrètes consiste à déterminer le type de nombres qu’elles peuvent contenir. Normalement, une distribution continue peut prendre n’importe quelle valeur, y compris des nombres décimaux, tandis que les distributions discrètes ne peuvent prendre que des nombres entiers. Gardez à l’esprit que cette astuce ne fonctionne pas dans tous les cas, mais dans la grande majorité des cas.

à propos de l'auteur

Amelia Rodriguez
Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus

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