Distribution géométrique

Cet article explique ce qu’est la distribution géométrique dans les statistiques. Vous trouverez donc la définition de la distribution géométrique, des exemples de distributions géométriques et les propriétés de ce type de distribution de probabilité. De plus, vous pouvez calculer n’importe quelle probabilité d’une distribution géométrique avec une calculatrice en ligne.

Qu’est-ce que la distribution géométrique ?

La distribution géométrique est une distribution de probabilité qui définit le nombre d’essais de Bernoulli nécessaire pour obtenir le premier résultat réussi.

Autrement dit, une distribution géométrique modélise les processus dans lesquels les expériences de Bernoulli sont répétées jusqu’à ce que l’une d’elles obtienne un résultat positif.

N’oubliez pas qu’un essai Bernoulli est une expérience qui a deux résultats possibles : le « succès » et l’« échec ». Donc si la probabilité de « succès » est p , la probabilité d’« échec » est q=1-p .

La distribution géométrique dépend donc du paramètre p , qui est la probabilité de succès de toutes les expériences réalisées. De plus, la probabilité p est la même pour toutes les expériences.

De même, la distribution géométrique peut également être définie comme le nombre d’échecs avant le premier succès. Dans ce cas, la distribution peut prendre la valeur x=0 et sa formule varie légèrement. Mais le plus courant est de reprendre la définition de la distribution géométrique expliquée au début de cette section.

Exemples de distribution géométrique

Une fois que nous avons vu la définition de la distribution géométrique, cette section montre plusieurs exemples de variables aléatoires qui suivent ce type de distribution.

Exemples de distribution géométrique :

1. Le nombre de lancers de pièces effectués jusqu’à ce que face soit obtenu.
2. Le nombre de voitures qui passent sur une route jusqu’à ce qu’elles voient une voiture rouge.
3. Le nombre de fois qu’une personne doit passer l’examen de conduite jusqu’à ce qu’elle le réussisse.
4. Le nombre de lancers de dés effectués jusqu’à ce que le chiffre 6 soit obtenu.
5. Le nombre de lancers francs qui doivent être effectués jusqu’à ce qu’un but soit marqué.

Formule de distribution géométrique

Dans une distribution géométrique, la probabilité de devoir faire x essais pour obtenir un résultat positif est le produit du paramètre p fois (1-p) à la puissance x-1 .

Par conséquent, la formule pour calculer une probabilité de la distribution géométrique est la suivante :

👉 Vous pouvez utiliser la calculatrice ci-dessous pour calculer la probabilité d’une variable qui suit la distribution géométrique.

D’autre part, la formule de la fonction de distribution qui permet de calculer une probabilité cumulée de la distribution géométrique est la suivante :

Exercice de distribution géométrique résolu

• Quelle est la probabilité d’obtenir le chiffre 5 au troisième lancer de dé ?

La distribution de probabilité de ce problème est une distribution géométrique, puisqu’elle définit le nombre de lancers nécessaires (trois) pour obtenir un résultat réussi (le chiffre 5).

Il faut donc d’abord calculer la probabilité de succès de chaque lancement. Dans ce cas, il n’y a qu’un seul résultat positif sur six résultats possibles, donc la probabilité p est :

Et puis nous appliquons la formule de distribution géométrique pour déterminer la probabilité que l’exercice nous demande :

Caractéristiques de distribution géométrique

La distribution géométrique répond aux caractéristiques suivantes :

• La distribution géométrique possède un paramètre caractéristique, p , qui est la probabilité de réussite de chacune des expériences réalisées.

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} X\sim\text{Geom\'etrica}(p)\\[2ex]0<ul><li> La moyenne de la distribution géométrique est égale à un divisé par la probabilité de réussite de chaque expérience réalisée.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

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• La variance de la distribution géométrique est équivalente à la différence de 1 moins p sur le carré de p .

• La formule de la fonction de masse de la distribution géométrique est la suivante :

• De même, la formule de la fonction de probabilité cumulée de la distribution géométrique est la suivante :

• La distribution géométrique est un cas particulier de la distribution binomiale négative. Plus précisément, cela équivaut à une distribution binomiale négative avec le paramètre r=1 .

Calculateur de distribution géométrique

Entrez la valeur du paramètre p et la valeur de x dans la calculatrice suivante pour calculer la probabilité. Vous devez sélectionner la probabilité que vous souhaitez calculer et saisir les nombres en utilisant le point comme séparateur décimal, par exemple 0,1667.

➤ Paramètre de distribution géométrique →

➤ Probabilité à calculer :