Espérance mathématique (ou valeur attendue)

Par Pr Amélia Rodriguez août 5, 2023 Probabilité 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est l’espérance mathématique (ou valeur attendue) d’une variable aléatoire et comment la calculer. Vous trouverez un exercice résolu d’espoir mathématique. De plus, vous pouvez trouver l’espérance mathématique de n’importe quel ensemble de données avec une calculatrice en ligne.

Qu’est-ce que l’espérance mathématique (ou valeur attendue) ?

En statistique, l’ espérance , également appelée valeur attendue , est un nombre qui représente la valeur moyenne d’une variable aléatoire. L’espérance mathématique est égale à la somme de tous les produits formés par les valeurs des événements aléatoires et leurs probabilités respectives de se produire.

Le symbole de l’espérance est le E majuscule, par exemple, l’espérance de la variable statistique X est représentée par E(X).

De même, la valeur de l’espérance mathématique d’un ensemble de données coïncide avec sa moyenne (moyenne de la population).

Comment calculer l’espérance mathématique

Pour calculer l’espérance mathématique d’une variable discrète, les étapes suivantes doivent être suivies :

Multipliez chaque événement possible par sa probabilité d’occurrence.
Additionnez tous les résultats obtenus à l’étape précédente.
La valeur obtenue est l’espérance mathématique (ou valeur attendue) de la variable.

Ainsi, la formule pour calculer l’espérance mathématique (ou valeur attendue) d’une variable discrète est la suivante :

👉 Vous pouvez utiliser la calculatrice ci-dessous pour calculer l’espérance mathématique de n’importe quel ensemble de données.

Notez que la formule ci-dessus ne peut être utilisée que si la variable aléatoire est discrète (dans la plupart des cas). Mais si la variable est continue, nous devons utiliser la formule suivante pour obtenir l’espérance mathématique :

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

Où

$f_x$ est la fonction de densité de la variable continue

exemple d’espérance mathématique

Compte tenu de la définition de l’espérance (ou de la valeur attendue), vous trouverez ci-dessous un exemple concret afin que vous puissiez voir comment le calcul est effectué.

Une personne participe à un jeu dans lequel elle peut gagner ou perdre de l’argent en fonction du nombre qui apparaît en lançant un dé. Si un 1 sort, vous gagnez 800 $, si un 2 ou un 3 sort, vous perdez 500 $ et si un 4, un 5 ou un 6 sort, vous gagnez 100 $. Le prix pour participer est de 50 $. Recommanderiez-vous de participer à ce jeu de probabilité ?

La première chose à faire est de déterminer la probabilité de chaque événement. Puisqu’un dé a six faces, la probabilité d’obtenir n’importe quel nombre est :

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

La probabilité d’occurrence de chaque événement est donc :

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

Maintenant que nous connaissons la probabilité que chaque événement se produise, nous appliquons la formule mathématique de l’espérance :

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

Et nous calculons l’espérance mathématique (ou valeur attendue) :

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

La valeur attendue est inférieure au prix de participation à ce jeu, il serait donc préférable de ne pas jouer car à long terme, vous finirez par perdre de l’argent. Il se peut que si vous ne participez qu’une fois qu’il atteint 1, vous réalisez alors un gros profit, mais la probabilité de subir des pertes à long terme est élevée.

Il convient de noter que le résultat de l’espérance mathématique est parfois une valeur impossible, par exemple, dans ce cas, 16,67 $ ne peuvent pas être obtenus.

Calculateur d’attentes

Entrez un ensemble de données statistiques dans la calculatrice suivante pour calculer l’espérance mathématique. Vous devez mettre dans la première case la valeur de chaque événement et dans la deuxième case sa probabilité d’occurrence dans le même ordre.

Les données doivent être séparées par un espace et saisies en utilisant le point comme séparateur décimal.

Propriétés de l’espérance mathématique

Les propriétés de l’espérance mathématique sont les suivantes :

L’espérance mathématique d’une constante est elle-même.

$E(k)=k$

L’espérance d’une variable aléatoire multipliée par un scalaire est égale à l’espérance de cette variable multipliée par ce scalaire.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

L’espérance mathématique de la somme de deux variables est équivalente à la somme des espérances mathématiques de chaque variable.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

En général, multiplier deux variables produit une espérance mathématique différente. Le résultat n’est identique que si les variables sont indépendantes.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

Si toutes les valeurs d’une variable sont supérieures ou égales à zéro, alors l’espérance mathématique de cette variable est également positive ou égale à zéro.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

Si toutes les valeurs d’une variable sont inférieures à toutes les valeurs d’une autre variable, les espérances des deux variables ont la même relation.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

Si l’on sait qu’une variable est limitée par deux valeurs, son espérance mathématique est logiquement également limitée.

$a<ul><li> Si une variable est la combinaison linéaire d'une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li></ul>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)$

A quoi sert l’espérance mathématique ?

Dans cette dernière section, nous approfondirons la signification de l’espoir mathématique. Concrètement, nous allons voir à quoi sert cette mesure statistique et ainsi mieux comprendre le concept.

L’espérance mathématique (ou valeur attendue) est utilisée pour avoir une valeur du montant qui devrait être gagné ou perdu à long terme dans un espace probabiliste. Autrement dit, l’espérance mathématique indique le rendement qui sera obtenu à long terme.

Lorsqu’une personne envisage de réaliser un investissement, comme acheter des actions d’une entreprise, l’un des paramètres à prendre en compte est l’attente mathématique. Car si vous faisiez cet investissement plusieurs fois, le retour économique que vous obtiendriez serait la valeur de l’espérance mathématique. Il peut être considéré comme une moyenne des bénéfices obtenus.

De même, l’espérance mathématique est également utilisée dans d’autres domaines tels que l’économétrie, la physique quantique, le trading ou encore la biologie.

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus