Quantiles

Vous découvrirez ici ce que sont les quantiles et comment ils sont calculés. Nous expliquons également quels sont les types de quantiles et vous pourrez voir des exemples résolus de calcul de quantile. Enfin, vous pourrez calculer n’importe quel quantile de votre échantillon de données avec un calculateur en ligne.

Que sont les quantiles ?

En statistiques, les quantiles sont des points qui divisent également un ensemble de données ordonnées. Ainsi, un quantile indique la valeur en dessous de laquelle se situe un pourcentage de données.

Par exemple, si la valeur du quantile d’ordre 0,39 est 24, cela signifie que 39 % des données de l’échantillon sont inférieures à 24 et que le reste des données est supérieur à 24.

Par conséquent, les quantiles sont utilisés pour séparer les données d’une distribution en groupes égaux. De plus, ils sont également utilisés pour indiquer le pourcentage de données supérieur ou inférieur à une certaine valeur.

👉 Vous pouvez utiliser la calculatrice ci-dessous pour calculer les quantiles de n’importe quel ensemble de données.

Types de quantiles

Les différents types de quantiles sont :

• Quartiles – Quantiles qui divisent l’ensemble de données en quatre parties égales. Il existe donc trois quartiles : le premier quartile (Q ₁ ), le deuxième quartile (Q ₂ ) et le troisième quartile (Q ₃ ).
• Quintiles – Quantiles qui divisent l’ensemble de données en cinq parties égales. Ainsi, dans un échantillon, il ne peut y avoir que quatre quintiles. Ce type de quantiles est exprimé par la lettre K.
• Déciles : quantiles qui divisent l’ensemble de données en dix parties égales. Le symbole des déciles est la lettre D.
• Percentiles – Quantiles qui divisent l’ensemble de données en cent parties égales. Les percentiles indiquent également un pourcentage de l’échantillon. Ils sont nommés par la lettre P.

L’une des propriétés qui relient les différents types de quantiles est que la médiane, le deuxième quartile, le cinquième décile et le 50e centile ont la même valeur.

Par ailleurs, il existe également d’autres types de quantiles mais ceux-ci sont moins utilisés. Parmi eux, se distinguent les terciles, qui divisent une série de données en trois parties identiques, et les vigentiles, qui séparent les données collectées en vingt parties équivalentes.

De même, tous les types de quantiles sont considérés comme des mesures de position non centrales.

Comment calculer les quantiles

Pour calculer la position d’un quantile d’un ensemble de données statistiques, vous devez multiplier le nombre de quantile par la somme du nombre total de données plus un.

La formule du quantile est donc :

Attention : cette formule nous indique la position du quantile, pas sa valeur. Le quantile sera la donnée située à la position obtenue par la formule.

Cependant, parfois le résultat de cette formule nous donnera un nombre décimal. Il faut donc distinguer deux cas selon que le résultat est un nombre décimal ou non :

• Si le résultat de la formule est un nombre sans partie décimale , le quantile est la donnée qui se trouve dans la position fournie par la formule ci-dessus.
• Si le résultat de la formule est un nombre avec une partie décimale , la valeur exacte du quantile est calculée à l’aide de la formule suivante :

Où x _i et x _i+1 sont les nombres des positions entre lesquelles se trouve le nombre obtenu par la première formule, et d est la partie décimale du nombre obtenu par la première formule.

Si vous pensez que calculer un quantile est très compliqué, ne vous inquiétez pas. Lisez les exemples suivants et vous verrez que c’est en fait simple.

Remarque : dans la communauté scientifique il n’y a toujours pas de consensus sur le calcul des quantiles, vous trouverez donc peut-être un livre de statistiques qui l’explique un peu différemment.

Exemples de calcul de quantile

Compte tenu de la définition d’un quantile et de la théorie de son calcul, vous trouverez ci-dessous un exercice résolu sur le calcul de certains quantiles. Vous pourrez ainsi mieux comprendre le concept.

• Calculez le quantile d’ordre 0,50 et le quantile d’ordre 0,81 de l’échantillon statistique suivant.

Les données problématiques sont déjà triées par ordre croissant, il n’est donc pas nécessaire de les modifier. Sinon, il aurait fallu d’abord mettre de l’ordre dans les données.

Comme expliqué ci-dessus, la formule qui permet de trouver la position de n’importe quel quantile est la suivante :

Dans ce cas, la taille de l’échantillon est de 49 observations, donc pour calculer le quantile 0,50, nous devons remplacer le n par 49 et le p par 0,50 :

Ainsi, le quantile 0,50 sera la valeur qui se trouve à la vingt-cinquième position de la liste ordonnée, ce qui correspond à la valeur 250.

Maintenant, nous appliquons à nouveau la même formule pour trouver le quantile 0,81. Logiquement, dans ce deuxième exemple il faut remplacer p par 0,81.

Mais cette fois, nous avons obtenu un nombre décimal à partir de la formule (40,5), ce qui signifie que le quantile sera entre la position 40 et la position 41. Par conséquent, pour déterminer ce quantile, nous devons utiliser la deuxième formule de la méthode :

Dans ce cas, le quantile sera compris entre les positions 40 et 41, dont les valeurs sont respectivement 286 et 289. Par conséquent, x _i vaut 286, x _i+1 vaut 289 et d est la partie décimale du nombre obtenu, c’est-à-dire , 0,5.

Comme vous pouvez le constater, le calcul d’un quantile dépend du fait que la première formule nous donne ou non un nombre décimal. Si vous souhaitez voir plus d’exemples, vous pouvez voir plus d’exercices résolus sur les différents types de quantiles ici :

calculateur de quantiles

Entrez un ensemble de données statistiques et le nombre quantile que vous souhaitez calculer dans la calculatrice ci-dessous. Les nombres doivent être séparés par un espace et saisis en utilisant le point comme séparateur décimal.

Quantiles dans les données groupées

Pour calculer un quantile lorsque les données sont regroupées en intervalles, nous devons d’abord trouver l’intervalle ou la classe dans lequel se trouve le quantile à l’aide de la formule suivante :

Le quantile sera donc dans l’intervalle dont la fréquence absolue accumulée est immédiatement supérieure au nombre obtenu dans l’expression précédente.

Et une fois que l’on connaît l’intervalle auquel appartient le quantile, il faut appliquer la formule suivante pour trouver la valeur exacte du quantile :

Où:

• L _i est la limite inférieure de l’intervalle dans lequel se situe le quantile.
• n est le nombre total d’observations.
• F _i-1 est la fréquence absolue cumulée de l’intervalle précédent.
• f _i est la fréquence absolue de l’intervalle dans lequel se situe le quantile.
• I _i est la largeur de l’intervalle quantile.

Pour vous montrer comment procéder, voici un exemple concret de calcul des quantiles d’ordre 0,29 et 0,62 pour des données groupées.

Pour calculer le quantile 0,29, il faut d’abord trouver l’intervalle dans lequel il se trouve. Pour ce faire, nous utilisons la formule suivante :

Ainsi le quantile sera dans l’intervalle dont la fréquence absolue cumulée est immédiatement supérieure à 145,29, qui dans ce cas est l’intervalle [350,375) dont la fréquence absolue cumulée est 175. Et une fois que l’on connaît l’intervalle quantile, on utilise la formule de la deuxième méthode :

Maintenant, nous appliquons à nouveau la même procédure pour obtenir le quantile 0,62. Nous calculons d’abord l’intervalle où le quantile est :

L’intervalle dont la fréquence absolue cumulée est immédiatement supérieure à 310,62 est [425,450), avec une fréquence absolue cumulée de 347. Par conséquent, nous calculons la valeur exacte du quantile en utilisant la deuxième formule du processus :