Opérations avec événements
Nous expliquons ici quelles opérations peuvent être effectuées avec des événements et comment chaque type d’opération avec des événements est calculé. De plus, vous pouvez vous entraîner avec des exercices étape par étape sur les opérations avec événements.
Types d’opérations avec événements
En théorie des probabilités, il existe trois types d’opérations avec événements, qui sont les suivants :
- Union d’événements : c’est la probabilité qu’un événement ou un autre se produise.
- Intersection d’événements : c’est la probabilité conjointe de deux ou plusieurs événements.
- Différence d’événements : C’est la probabilité qu’un événement se produise mais qu’un autre événement ne se produise pas en même temps.
En définissant simplement chaque type d’opération événementielle, il est difficile de comprendre comment chaque type d’opération est effectué. C’est pourquoi nous allons expliquer ci-dessous les trois opérations plus en détail.
union d’événements
L’ union de deux événements A et B est la probabilité que l’événement A, l’événement B ou les deux événements se produisent en même temps.
Le symbole de l’union de deux événements différents est un U, donc l’union de deux événements s’exprime par un U au milieu des deux lettres qui représentent les événements.
La probabilité d’union de deux événements est égale à la somme de la probabilité d’occurrence de chaque événement moins la probabilité d’intersection des deux événements.
Par exemple, nous allons calculer la probabilité que les événements « lancer un nombre pair » ou « lancer un nombre supérieur à 4 » lors du lancement d’un dé.
Il existe trois possibilités pour obtenir un nombre pair en lançant le dé (2, 4 et 6), donc la probabilité que l’événement se produise est :
En revanche, il n’existe que deux nombres supérieurs à quatre (5 et 6), leur probabilité est donc :
Et l’intersection des deux événements correspond aux nombres qui apparaissent dans les deux événements, donc :
En bref, en joignant les événements A et B, la probabilité d’occurrence sera :
![\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09c6f02f4584314058aaadd171152410_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
croisement d’événements
L’ intersection de deux événements A et B est la probabilité que les deux événements A et B se produisent en même temps.
Le symbole de l’intersection de deux événements est représenté par un U inversé.
La probabilité de l’intersection de deux événements est égale au produit des probabilités de chaque événement séparément.
Évidemment, pour calculer la probabilité d’intersection de deux événements, ces deux événements doivent être compatibles.
A titre d’exemple, nous allons trouver la probabilité que les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre supérieur à 4 » se croisent lors d’un lancer de dé.
Comme nous l’avons calculé ci-dessus, la probabilité que chaque événement se produise séparément est :
Ainsi, la probabilité de l’intersection des deux événements sera la multiplication des probabilités de chaque événement :
![\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-467241b200c59905ecdcb42d834bc7ba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
différence d’événements
La différence de deux événements A moins B correspond à tous les événements élémentaires de A qui ne sont pas dans B. Autrement dit, dans la différence de deux événements A moins B, l’événement A est satisfait mais l’événement B ne peut pas être satisfait simultanément.
La probabilité de différence entre deux événements A et B est égale à la probabilité d’occurrence de l’événement A moins la probabilité d’occurrence des événements élémentaires partagés par A et B.
En suivant le même exemple que dans les deux types d’opérations précédents, nous allons déterminer la probabilité que cela se produise à partir de la différence de l’événement « obtention d’un nombre pair » moins « obtention d’un nombre supérieur à 4 » lors du lancer de dé.
Les probabilités que les événements A, B et leur intersection se produisent sont les suivantes (vous pouvez voir le calcul détaillé ci-dessus) :
La probabilité d’apparition de la différence entre les deux événements est donc :
![\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7aed40cdbbe256ec9b19c670f1d7607_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Par curiosité, la différence des événements AB a la propriété d’être également équivalente à l’intersection entre l’événement A et l’événement complémentaire (ou opposé) de B.
Exercices résolus sur les opérations avec événements
Exercice 1
Si l’on lance un dé à six faces, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ou un nombre inférieur à 3 ?
Dans cet exercice, nous devons calculer la probabilité qu’un événement ou un autre se produise, nous devons donc trouver la probabilité d’union des deux événements.
Nous calculons donc d’abord la probabilité d’obtenir un nombre impair en appliquant la loi de Laplace :
Deuxièmement, nous déterminons la probabilité d’obtenir un nombre inférieur à 3 :
Calculons maintenant la probabilité des événements élémentaires qui se répètent dans les deux événements, qui est uniquement le nombre 1 (uniquement impair inférieur à 3) :
Et enfin, nous appliquons la formule de l’union de deux événements pour connaître leur probabilité :
Exercice 2
Dans une boîte on met 3 boules orange, 2 boules bleues et 5 boules blanches. Nous faisons l’expérience aléatoire consistant à ramasser une balle, à la remettre dans la boîte, puis à en retirer une autre. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue au premier tirage et une boule orange au second ?
Pour résoudre ce problème, il faut calculer l’intersection des deux événements, car nous voulons que les deux événements élémentaires soient vrais.
On calcule donc d’abord la probabilité d’attraper une balle bleue en appliquant la règle de Laplace :
On trouve ensuite la probabilité d’obtenir une boule orange :
Et, enfin, on calcule la probabilité d’intersection des deux événements en multipliant les deux probabilités trouvées :
![\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cfcbe0cbee264116460aa623fe22b8f4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En conclusion, il n’y a que 6% de chances d’attraper une balle bleue au premier essai et une balle orange au deuxième essai.
Exercice 3
La probabilité que Marta réussisse un examen est de 1/3 et la probabilité que Juan réussisse le même examen est de 2/5. Quelle est la probabilité que Marta réussisse et que Juan échoue ?
Dans cet exercice, nous devons calculer la différence entre les deux événements, car nous voulons que Marta approuve mais pas Juan. Pour cela, il suffit d’utiliser la formule de ce type d’opération avec événements :
![\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0e95b0b85a9436f42caf8eaa44f2a38_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La probabilité que Marta réussisse et que Juan échoue en même temps est donc de 20 %.
à propos de l'auteur
Pr Amélia Rodriguez
En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus