Des événements mutuellement exclusifs

Nous expliquons ici ce que sont les événements mutuellement exclusifs. Vous pourrez également voir des exemples d’événements mutuellement exclusifs et comment calculer leur probabilité d’occurrence. Enfin, vous découvrirez quelles sont les différences entre les événements mutuellement exclusifs et les autres types d’événements.

Quels sont les événements mutuellement exclusifs ?

Les événements mutuellement exclusifs sont les résultats d’une expérience aléatoire qui ne peut pas se produire en même temps. Autrement dit, deux événements s’excluent mutuellement lorsqu’ils n’ont aucun événement simple en commun.

Les événements mutuellement exclusifs sont également appelés occurrences mutuellement exclusives .

Il convient de noter qu’il ne suffit pas que deux événements ne se produisent pas simultanément pour qu’ils s’excluent mutuellement ; s’il existe une possibilité que de tels événements puissent jamais se produire simultanément, ce ne sont plus des événements de ce type. Pour que deux événements s’excluent mutuellement, leur probabilité de survenance conjointe doit être nulle.

Exemples d’événements mutuellement exclusifs

Une fois que nous avons vu la définition des événements mutuellement exclusifs, vous pouvez voir ci-dessous plusieurs exemples de ce type d’événements pour bien comprendre leur signification.

Par exemple, les événements « pile » et « face » dans un tirage au sort s’excluent mutuellement, car ils ne se produiront jamais simultanément.

Nous pouvons également trouver d’autres exemples d’événements mutuellement exclusifs dans le lancer de dé. Lorsque l’on lance un dé, il y a six résultats possibles (1, 2, 3, 4, 5 et 6), mais nous ne pouvons obtenir qu’un seul nombre, donc les six résultats s’excluent mutuellement.

Probabilité d’événements mutuellement exclusifs

La probabilité que deux événements mutuellement exclusifs se produisent en même temps est égale à zéro puisque, par définition, les deux événements ne peuvent pas coexister. Ainsi, l’intersection de deux événements mutuellement exclusifs est l’ensemble vide.

D’autre part, la probabilité qu’un événement se produise à partir d’une paire d’événements mutuellement exclusifs est la somme des probabilités d’occurrence de chaque événement .

Pour que vous puissiez voir comment est calculée la probabilité d’occurrence de deux événements mutuellement exclusifs, nous vous laissons un exercice résolu ci-dessous.

• Dans une boîte on met 5 boules vertes, 4 boules jaunes et 2 boules bleues. Quelle est la probabilité de retirer une boule orange ou une boule bleue de la boîte ?

Évidemment, les trois événements « tirer une boule verte » , « tirer une boule jaune » et « tirer une boule bleue » s’excluent mutuellement car ils ne peuvent pas se produire en même temps. Par conséquent, pour trouver la probabilité de « tirer une boule verte ou une boule bleue », nous devons d’abord calculer les probabilités des deux événements séparément, puis les additionner.

Ainsi, on calcule la probabilité de piocher une boule verte dans la boîte en appliquant la loi de Laplace :

On trouve ensuite la probabilité d’obtenir une boule bleue :

Ainsi la probabilité totale d’attraper une balle verte ou une balle bleue sera la somme des deux probabilités calculées :

Événements mutuellement exclusifs et mutuellement non exclusifs

Logiquement, la différence entre les événements mutuellement exclusifs et les événements mutuellement non exclusifs réside dans leur exclusivité. Deux événements mutuellement exclusifs ne peuvent pas se produire en même temps, mais deux événements mutuellement non exclusifs peuvent se produire simultanément.

Par exemple, lors du tirage d’une carte aléatoire dans un jeu, les événements « piocher une carte diamant » et « tirer une carte cœur » s’excluent mutuellement, puisqu’aucune carte ne peut être à la fois une carte diamant et une carte cœur.

Au contraire, en suivant le même exemple, les événements « tirer une carte diamant » et « tirer une carte avec un chiffre inférieur à 7 » ne s’excluent pas mutuellement, puisqu’il existe de nombreuses cartes qui remplissent ces deux conditions.

Des événements mutuellement exclusifs et complémentaires

La différence entre deux événements mutuellement exclusifs et deux événements complémentaires réside dans le fait qu’ils soient ou non des événements collectivement exclusifs. Les événements mutuellement exclusifs ne doivent pas nécessairement être collectivement exclusifs, alors que les événements complémentaires le sont toujours.

Autrement dit, deux événements mutuellement exclusifs sont deux résultats différents d’une expérience dans laquelle ils ne peuvent pas se produire en même temps, mais dans laquelle un autre événement peut quand même se produire. Au contraire, deux événements sont complémentaires lorsqu’ils sont les deux seules issues possibles d’une expérience aléatoire et ne peuvent se produire simultanément.

Par exemple, deux événements complémentaires au lancer d’un dé seraient « lancer un nombre inférieur ou égal à 3 » et « lancer un nombre supérieur à 3 » . Mais deux événements mutuellement exclusifs seraient « obtenir le numéro 1 » et « obtenir le numéro 2 » , puisque la réalisation de l’un d’eux implique que l’autre ne peut pas se produire, cependant, nous pourrions toujours obtenir d’autres numéros à partir du même lancer.

En fin de compte, tous les événements complémentaires s’excluent mutuellement , mais deux événements qui s’excluent mutuellement ne sont pas nécessairement complémentaires.

Événements mutuellement exclusifs et événements indépendants

Dans cette section, nous souhaitons expliquer les différences entre les événements mutuellement exclusifs et les événements indépendants, car ce sont deux concepts qui doivent être clairs lors de l’étude des probabilités et des statistiques.

La différence entre les événements mutuellement exclusifs et les événements indépendants réside dans le fait que des événements mutuellement exclusifs ne peuvent pas se produire en même temps. Au lieu de cela, des événements indépendants peuvent se produire en même temps, mais la probabilité d’un événement n’affecte pas l’autre.

Par exemple, en lançant une pièce de monnaie deux fois de suite, les événements « face au premier lancer » et « face au deuxième lancer » sont indépendants puisque le fait qu’un événement se produise n’affecte pas la probabilité d’occurrence de l’autre événement. Mais ces deux événements ne s’excluent pas mutuellement car les deux peuvent se produire.

En revanche, si l’on lance la pièce une seule fois, les événements « pile » et « pile » s’excluent désormais mutuellement car ils ne se produiront jamais en même temps.