Aplatissement

Par Pr Amélia Rodriguez août 5, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est l’aplatissement dans les statistiques. Ainsi, vous trouverez la définition de l’aplatissement, quelle est sa formule, quels sont les différents types d’aplatissement et un calculateur pour déterminer le type d’aplatissement de tout échantillon de données.

Qu’est-ce que l’aplatissement ?

L’aplatissement , également appelé pointage , est une mesure statistique qui indique le degré de concentration d’une distribution autour de sa moyenne.

Autrement dit, l’aplatissement indique si une distribution est raide ou plate. Plus précisément, plus l’aplatissement d’une distribution est élevé, plus elle est raide (ou pointue).

En ce sens, le coefficient d’aplatissement est un calcul effectué pour quantifier l’aplatissement d’une distribution. Nous verrons ci-dessous comment il est calculé.

Bien que cela puisse paraître contradictoire, un plus grand kurtosis n’implique pas une plus grande variance, ni vice versa. Puisque la variance est un concept statistique différent de l’aplatissement. Si vous avez des questions à ce sujet, vous pouvez consulter le message suivant :

➤ Voir : variance (statistiques)

Types d’aplatissement

Il existe trois types d’aplatissement :

Leptokurtique : la distribution est très pointue, c’est-à-dire que les données sont fortement concentrées autour de la moyenne. Plus précisément, les distributions leptokurtiques sont définies comme les distributions plus pointues que la distribution normale.
Mésokurtique : L’aplatissement de la distribution est équivalent à l’aplatissement de la distribution normale. Par conséquent, il n’est ni considéré comme pointu ni aplati.
Platykurtique : la distribution est très aplatie, c’est-à-dire que la concentration autour de la moyenne est faible. Formellement, les distributions platykurtiques sont définies comme les distributions qui sont plus plates que la distribution normale.

Il est à noter que les différents types d’aplatissement sont définis en prenant comme référence l’aplatissement de la distribution normale.

👉 Vous pouvez utiliser la calculatrice ci-dessous pour déterminer à quel type d’aplatissement appartient un ensemble de données.

Coefficient d’aplatissement

La formule du coefficient d’aplatissement est la suivante :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

La formule du coefficient d’aplatissement pour les données regroupées dans des tableaux de fréquence :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Enfin, la formule du coefficient d’aplatissement pour les données regroupées :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Où:

$g_2$ est le coefficient d’aplatissement.
$N$ est le nombre total de données.
$x_i$ est la ième donnée de la série.
$\mu$ est la moyenne arithmétique de la distribution.
$\sigma$ est l’ écart type (ou écart typique) de la distribution.
$f_i$ est la fréquence absolue du ième ensemble de données.
$c_i$ est la marque de classe du ième groupe.

Notez que dans toutes les formules de coefficient d’aplatissement, 3 est soustrait car c’est la valeur de l’aplatissement de la distribution normale. Par conséquent, le coefficient d’aplatissement est calculé en utilisant l’aplatissement de la distribution normale comme référence. C’est pourquoi parfois dans les statistiques, on dit qu’un kurtosis excessif est calculé.

Une fois le coefficient d’aplatissement calculé, il faut l’interpréter comme suit pour identifier de quel type d’aplatissement il s’agit :

Si le coefficient d’aplatissement est positif, cela signifie que la distribution est leptokurtique .
Si le coefficient d’aplatissement est égal à zéro, cela signifie que la distribution est mésokurtique .
Si le coefficient d’aplatissement est négatif, cela signifie que la distribution est platykurtique .

Calculateur d’aplatissement

Branchez un ensemble de données dans la calculatrice suivante pour calculer son coefficient d’aplatissement et de quel type d’aplatissement il s’agit. Les données doivent être séparées par un espace et saisies en utilisant le point comme séparateur décimal.

Kurtosis et asymétrie

En statistiques, l’aplatissement et l’asymétrie sont deux concepts souvent étudiés ensemble, car tous deux sont utilisés pour décrire la forme d’une distribution.

Plus précisément, l’asymétrie étudie si une distribution est symétrique ou asymétrique et quels effets cela a sur la distribution. Ainsi, en calculant l’aplatissement et l’asymétrie d’une distribution, la forme de sa courbe peut être déterminée, sans qu’il soit nécessaire de la représenter graphiquement.

Pour en savoir plus, cliquez ici :

➤ Voir : asymétrie (statistiques)

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus