L’approximation de Satterthwaite : définition & Exemple
L’ approximation de Satterthwaite est une formule utilisée pour trouver les « degrés de liberté effectifs » dans un test t à deux échantillons.
Il est utilisé le plus souvent dans le test t de Welch , qui compare les moyennes de deux échantillons indépendants sans supposer que les populations dont proviennent les échantillons présentent des variances égales.
La formule de l’approximation de Satterthwaite est la suivante :
Degrees of freedom: (s12/n1 + s22/n2)2 / {[(s12/n1)2/(n1 – 1)] + [(s22/n2)2/(n2 – 1)]}
où:
- s 1 2 , s 2 2 : La variance d’échantillon du premier et du deuxième échantillon, respectivement.
- n 1 , n 2 : La taille de l’échantillon du premier et du deuxième échantillon, respectivement.
L’exemple suivant montre comment utiliser l’approximation de Satterthwaite pour calculer les degrés de liberté effectifs.
Exemple : Calcul de l’approximation de Satterthwaite
Supposons que nous voulions savoir si la hauteur moyenne de deux espèces de plantes différentes est égale. Nous allons donc collecter deux échantillons aléatoires simples de chaque espèce et mesurer la hauteur des plantes dans chaque échantillon.
Les valeurs suivantes indiquent la hauteur (en pouces) de chaque échantillon :
Échantillon 1 : 14, 15, 15, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 25
Échantillon 2 : 10, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 27, 31, 33, 34, 34, 34
Les moyennes, les variances et les tailles d’échantillon s’avèrent être :
- x1 = 19,27
- x2 = 23,69
- s 1 2 = 20,42
- s 2 2 = 83,23
- n1 = 11
- n2 = 13
Ensuite, nous pouvons intégrer les valeurs des variances et des tailles d’échantillon dans la formule d’approximation de Satterthwaite pour trouver les degrés de liberté effectifs :
df = (s12/n1 + s22/n2)2 / {[(s12/n1)2/(n1 – 1)] + [(s22/n2)2/(n2 – 1)]}
df = (20.42/11 + 83.23/13)2/{[(20.42/11)2/(11 – 1)] + [(83.23/13)2/(13 – 1)]} = 18.137
Les degrés de liberté effectifs s’avèrent être 18,137 .
En règle générale, nous arrondissons cette valeur à l’entier le plus proche, de sorte que les degrés de liberté que nous utiliserions dans notre test t de Welch sont 18 .
Enfin, nous trouverons la valeur critique t dans le tableau de distribution t qui correspond à un test bilatéral avec alpha = 0,05 pour 18 degrés de liberté :
La valeur critique t est 2,101 .
Nous calculerions alors notre statistique de test comme suit :
Statistique de test : ( x 1 – x 2 ) / (√ s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 )
Statistique de test : (19,27 – 23,69) / (√ 20,42/11 + 83,23/13 ) = -4,42 / 2,873 = -1,538
Puisque la valeur absolue de notre statistique de test (1,538) n’est pas supérieure à la valeur critique t, nous ne parvenons pas à rejeter l’hypothèse nulle du test.
Il n’existe pas suffisamment de preuves pour affirmer que les moyens des deux populations sont significativement différents.
L’approximation de Satterthwaite en pratique
En pratique, vous aurez rarement besoin de calculer manuellement l’approximation de Satterthwaite.
Au lieu de cela, les logiciels statistiques courants tels que R, Python, Excel, SAS et Stata peuvent tous utiliser l’approximation de Satterthwaite pour calculer automatiquement les degrés de liberté effectifs pour vous.
Ressources additionnelles
Introduction aux tests d’hypothèses
Une introduction au test t à deux échantillons
Une introduction au test t de Welch
à propos de l'auteur
Dr. Benjamin Anderson
Il est un professeur de statistiques à la retraite devenu éducateur dévoué sur Statorials. Avec une vaste expérience et une expertise dans le domaine des statistiques, je m'engage à partager mes connaissances pour responsabiliser les étudiants grâce à Statorials. Lire plus