Approximation normale du binôme : définition & Exemple

Si X est une variable aléatoire qui suit une distribution binomiale avec n essais et p probabilité de succès pour un essai donné, alors nous pouvons calculer la moyenne (μ) et l’écart type (σ) de X à l’aide des formules suivantes :

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

Il s’avère que si n est suffisamment grand, nous pouvons alors utiliser la distribution normale pour approximer les probabilités liées à la distribution binomiale. C’est ce qu’on appelle l’ approximation normale du binôme .

Pour que n soit « suffisamment grand », il doit répondre aux critères suivants :

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Lorsque les deux critères sont remplis, nous pouvons utiliser la distribution normale pour répondre aux questions de probabilité liées à la distribution binomiale.

Cependant, la distribution normale est une distribution de probabilité continue tandis que la distribution binomiale est une distribution de probabilité discrète, nous devons donc appliquer une correction de continuité lors du calcul des probabilités.

En termes simples, une correction de continuité est le nom donné à l’ajout ou à la soustraction de 0,5 à une valeur x discrète.

Par exemple, supposons que nous souhaitions trouver la probabilité qu’une pièce tombe sur face inférieure ou égale à 45 fois au cours de 100 lancers. Autrement dit, nous voulons trouver P(X ≤ 45). Pour utiliser la distribution normale pour approximer la distribution binomiale, nous trouverions plutôt P(X ≤ 45,5).

Le tableau suivant indique quand vous devez ajouter ou soustraire 0,5, en fonction du type de probabilité que vous essayez de trouver :

L’exemple étape par étape suivant montre comment utiliser la distribution normale pour se rapprocher de la distribution binomiale.

Exemple : approximation normale du binôme

Supposons que nous voulions connaître la probabilité qu’une pièce tombe sur face inférieure ou égale à 43 fois au cours de 100 lancers.

Dans cette situation nous avons les valeurs suivantes :

• n (nombre d’essais) = 100
• X (nombre de réussites) = 43
• p (probabilité de succès sur un essai donné) = 0,50

Pour calculer la probabilité que la pièce tombe sur face inférieure ou égale à 43 fois, nous pouvons utiliser les étapes suivantes :

Étape 1 : Vérifiez que la taille de l’échantillon est suffisamment grande pour utiliser l’approximation normale.

Tout d’abord, nous devons vérifier que les critères suivants sont remplis :

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Dans ce cas, nous avons :

• np = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Les deux nombres sont supérieurs à 5, nous pouvons donc utiliser en toute sécurité l’approximation normale.

Étape 2 : Déterminez la correction de continuité à appliquer.

En nous référant au tableau ci-dessus, nous voyons que nous devrions ajouter 0,5 lorsque nous travaillons avec une probabilité sous la forme de X ≤ 43. Ainsi, nous trouverons P(X< 43,5).

Étape 3 : Trouvez la moyenne (μ) et l’écart type (σ) de la distribution binomiale.

µ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

Étape 4 : Trouvez le score z en utilisant la moyenne et l’écart type trouvés à l’étape précédente.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Étape 5 : Trouvez la probabilité associée au score z.

Nous pouvons utiliser la calculatrice CDF normale pour constater que l’aire sous la courbe normale standard à gauche de -1,3 est de 0,0968 .

Ainsi, la probabilité qu’une pièce tombe sur face est inférieure ou égale à 43 fois au cours de 100 lancers est de 0,0968 .

Cet exemple illustre ce qui suit :

• Nous avons eu une situation où une variable aléatoire suivait une distribution binomiale.
• Nous voulions trouver la probabilité d’obtenir une certaine valeur pour cette variable aléatoire.
• La taille de l’échantillon (n = 100 essais) étant suffisamment grande, nous avons pu utiliser la distribution normale pour nous rapprocher de la distribution binomiale.

Ceci est un exemple complet de la façon d’utiliser l’approximation normale pour trouver des probabilités liées à la distribution binomiale.