Asymétrie (statistique)

Par Pr Amélia Rodriguez août 5, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce que signifie l’asymétrie dans les statistiques. Ainsi, vous trouverez la définition de l’asymétrie en statistique, quels sont les différents types d’asymétrie, comment est calculé le coefficient d’asymétrie et comment il est interprété.

Qu’est-ce que l’asymétrie en statistique ?

En statistique, l’asymétrie est une mesure qui indique le degré de symétrie (ou asymétrie) d’une distribution par rapport à sa moyenne. Autrement dit, l’asymétrie est un paramètre statistique utilisé pour déterminer le degré de symétrie (ou d’asymétrie) d’une distribution sans qu’il soit nécessaire de la représenter graphiquement.

Ainsi, une distribution asymétrique est une distribution qui a un nombre de valeurs différent à gauche de la moyenne par rapport à celles à droite. En revanche, dans une distribution symétrique il y a le même nombre de valeurs à gauche et à droite de la moyenne.

Par exemple, la distribution exponentielle est asymétrique et la distribution normale est symétrique.

Types d’asymétrie

En statistique, il existe trois types d’asymétrie :

Asymétrie positive : La distribution a plus de valeurs différentes à droite de la moyenne qu’à sa gauche.
Symétrie : La distribution a le même nombre de valeurs à gauche de la moyenne qu’à droite de la moyenne.
Asymétrie négative : La distribution a plus de valeurs différentes à gauche de la moyenne qu’à sa droite.

Coefficient d’asymétrie

Le coefficient d’asymétrie , ou indice d’asymétrie , est un coefficient statistique qui permet de déterminer l’asymétrie d’une distribution. Ainsi, en calculant le coefficient d’asymétrie, vous pouvez connaître le type d’asymétrie de la distribution sans avoir à en faire une représentation graphique.

Bien qu’il existe différentes formules pour calculer le coefficient d’asymétrie, et nous les verrons toutes ci-dessous, quelle que soit la formule utilisée, l’interprétation du coefficient d’asymétrie se fait toujours comme suit :

Si le coefficient d’asymétrie est positif, la distribution est positivement asymétrique .
Si le coefficient d’asymétrie est égal à zéro, la distribution est symétrique .
Si le coefficient d’asymétrie est négatif, la distribution est asymétrique négativement .

Coefficient d’asymétrie de Fisher

Le coefficient d’asymétrie de Fisher est égal au troisième moment autour de la moyenne divisé par l’écart type de l’échantillon. Par conséquent, la formule du coefficient d’asymétrie de Fisher est la suivante :

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

De manière équivalente, l’une ou l’autre des deux formules suivantes peut être utilisée pour calculer le coefficient de Fisher :

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Où

$E$ est un espoir mathématique, $\mu$ la moyenne arithmétique, $\sigma$ l’écart type et $N$ le nombre total de données.

En revanche, si les données sont regroupées vous pouvez utiliser la formule suivante :

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Où dans ce cas

$x_i$ C’est la marque de la classe et $f_i$ la fréquence absolue du cours.

Coefficient d’asymétrie de Pearson

Le coefficient d’asymétrie de Pearson est égal à la différence entre la moyenne et le mode de l’échantillon divisée par son écart type (ou écart type). La formule du coefficient d’asymétrie de Pearson est donc la suivante :

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Où

$A_p$ est le coefficient de Pearson, $\mu$ la moyenne arithmétique, $Mo$ la mode et $\sigma$ l’écart type.

Gardez à l’esprit que le coefficient d’asymétrie de Pearson ne peut être calculé que s’il s’agit d’une distribution unimodale, c’est-à-dire s’il existe un seul mode dans les données.

Certains auteurs utilisent la médiane au lieu du mode pour calculer le coefficient d’asymétrie de Pearson, mais en général, la formule ci-dessus est utilisée.

➤ Voir : différence entre moyenne, médiane et mode

Coefficient d’asymétrie de Bowley

Le coefficient d’asymétrie de Bowley est égal à la somme du troisième quartile plus le premier quartile moins deux fois la médiane divisée par la différence entre le troisième et le premier quartile. La formule de ce coefficient d’asymétrie est donc la suivante :

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Où

$Q_1$ et $Q_3$ Il s’agit respectivement du premier et du troisième quartile et $Me$ est la médiane de la distribution.

Rappelons que la médiane d’une distribution coïncide avec le deuxième quartile.

➤ Voir : calculateur de quartile

A quoi sert l’asymétrie en statistique ?

Pour bien comprendre la signification de l’asymétrie en statistique, voyons comment cette caractéristique d’une distribution est calculée.

L’asymétrie est principalement utilisée pour connaître la forme d’une distribution de probabilité, car en calculant le coefficient d’asymétrie, vous pouvez savoir s’il s’agit d’une distribution asymétrique négative, asymétrique positive ou symétrique sans avoir à faire sa représentation graphique.

De plus, l’asymétrie, ainsi que l’aplatissement, sont utilisés pour déterminer si un ensemble de données peut se rapprocher d’une distribution normale. Autrement dit, le coefficient d’asymétrie et le coefficient d’aplatissement sont calculés pour vérifier si une série de données répond aux hypothèses d’une distribution normale et, si tel est le cas, cela s’avère très bénéfique car cela implique que de nombreux théorèmes statistiques peuvent être appliqués.

➤ Voir : aplatissement

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus