Distribution binomiale vs distribution de Poisson : similarités & Différences

Deux distributions similaires en statistiques sont la distribution binomiale et la distribution de Poisson .

Ce didacticiel fournit une brève explication de chaque distribution ainsi que les similitudes et les différences entre les deux.

La distribution binomiale

La distribution binomiale décrit la probabilité d’obtenir k succès dans n expériences binomiales .

Si une variable aléatoire X suit une distribution binomiale, alors la probabilité que X = k succès peut être trouvée par la formule suivante :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

où:

• n : nombre d’essais
• k : nombre de réussites
• p : probabilité de succès sur un essai donné
• _n C _k : le nombre de façons d’obtenir k succès dans n essais

Par exemple, supposons que nous lançons une pièce 3 fois. On peut utiliser la formule ci-dessus pour déterminer la probabilité d’obtenir 0 face lors de ces 3 flips :

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125

La distribution de Poisson

La distribution de Poisson décrit la probabilité de vivre k événements pendant un intervalle de temps fixe.

Si une variable aléatoire X suit une distribution de Poisson, alors la probabilité que X = k événements peut être trouvée par la formule suivante :

P(X=k) = λ ^k * e ^{– λ} / k !

où:

• λ : nombre moyen de succès survenus au cours d’un intervalle spécifique
• k : nombre de réussites
• e : une constante égale à environ 2,71828

Par exemple, supposons qu’un hôpital particulier connaisse en moyenne 2 naissances par heure. Nous pouvons utiliser la formule ci-dessus pour déterminer la probabilité de connaître 3 naissances dans une heure donnée :

P(X=3) = 2 ³ * e ^{– 2} / 3 ! = 0,18045

Similitudes et différences

Les distributions Binomiale et Poisson partagent les similitudes suivantes :

• Les deux distributions peuvent être utilisées pour modéliser le nombre d’occurrences d’un événement.
• Dans les deux distributions, les événements sont supposés indépendants.

Les distributions partagent la différence clé suivante :

• Dans une distribution binomiale, il y a un nombre fixe d’essais (par exemple, lancer une pièce 3 fois)
• Dans une distribution de Poisson, il peut y avoir n’importe quel nombre d’événements qui se produisent pendant un certain intervalle de temps (par exemple, combien de clients arriveront dans un magasin au cours d’une heure donnée ?)

Problèmes pratiques : quand utiliser chaque distribution

Dans chacun des problèmes pratiques suivants, déterminez si la variable aléatoire suit une distribution binomiale ou une distribution de Poisson.

Problème 1 : pannes de réseau

Une entreprise technologique souhaite modéliser la probabilité qu’un certain nombre de pannes de réseau se produisent au cours d’une semaine donnée. Supposons que l’on sache qu’en moyenne 4 pannes de réseau se produisent chaque semaine. Soit X le nombre de pannes de réseau au cours d’une semaine donnée. Quel type de distribution la variable aléatoire X suit-elle ?

Réponse : X suit une distribution de Poisson car nous souhaitons modéliser le nombre de pannes de réseau au cours d’une semaine donnée et il n’y a pas de limite supérieure au nombre de pannes pouvant survenir. Il ne s’agit pas d’une distribution binomiale car il n’y a pas de nombre fixe d’essais.

Problème 2 : tirer des lancers francs

Tyler réussit 70 % de tous les lancers francs qu’il tente. Supposons qu’il réussisse 10 lancers francs. Soit X le nombre de fois où Tyler réussit un panier au cours des 10 tentatives. Quel type de distribution la variable aléatoire X suit-elle ?

Réponse : X suit une distribution binomiale car il existe un nombre fixe d’essais (10 tentatives), la probabilité de « succès » pour chaque essai est la même et chaque essai est indépendant.

Ressources additionnelles

Calculateur de distribution binomiale
Calculateur de distribution de Poisson