Distribution binomiale et distribution géométrique : similarités & Différences

Deux distributions couramment utilisées en statistiques sont la distribution binomiale et la distribution géométrique .

Ce didacticiel fournit une brève explication de chaque distribution ainsi que les similitudes et les différences entre les deux.

La distribution binomiale

La distribution binomiale décrit la probabilité d’obtenir k succès dans n expériences binomiales .

Si une variable aléatoire X suit une distribution binomiale, alors la probabilité que X = k succès peut être trouvée par la formule suivante :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

où:

• n : nombre d’essais
• k : nombre de réussites
• p : probabilité de succès sur un essai donné
• _n C _k : le nombre de façons d’obtenir k succès dans n essais

Par exemple, supposons que nous lançons une pièce 3 fois. On peut utiliser la formule ci-dessus pour déterminer la probabilité d’obtenir 0 face lors de ces 3 flips :

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125

La distribution géométrique

La distribution géométrique décrit la probabilité de connaître un certain nombre d’échecs avant de connaître le premier succès dans une série d’expériences binomiales.

Si une variable aléatoire X suit une distribution géométrique, alors la probabilité de connaître k échecs avant de connaître le premier succès peut être trouvée par la formule suivante :

P(X=k) = (1-p) ^kp

où:

• k : nombre d’échecs avant le premier succès
• p : probabilité de succès à chaque essai

Par exemple, supposons que nous voulions savoir combien de fois nous devrons lancer une pièce juste jusqu’à ce qu’elle tombe sur face. Nous pouvons utiliser la formule ci-dessus pour déterminer la probabilité de connaître 3 « échecs » avant que la pièce n’retombe finalement sur face :

P(X=3) = (1-0,5) ³ (0,5) = 0,0625

Similitudes et différences

Les distributions binomiale et géométrique partagent les similitudes suivantes :

• Le résultat des expériences dans les deux distributions peut être classé comme « succès » ou « échec ».
• La probabilité de succès est la même pour chaque essai.
• Chaque essai est indépendant.

Les distributions partagent la différence clé suivante :

• Dans une distribution binomiale, il y a un nombre fixe d’essais (c’est-à-dire lancer une pièce 3 fois)
• Dans une distribution géométrique, on s’intéresse au nombre d’essais nécessaires jusqu’à obtenir un succès (c’est-à-dire combien de retournements devrons-nous faire avant de voir Tails ?)

Problèmes pratiques : quand utiliser chaque distribution

Dans chacun des problèmes pratiques suivants, déterminez si la variable aléatoire suit une distribution binomiale ou une distribution géométrique.

Problème 1 : lancer les dés

Jessica joue à un jeu de chance dans lequel elle continue de lancer un dé jusqu’à ce qu’il tombe sur le chiffre 4. Soit X le nombre de lancers jusqu’à ce qu’un 4 apparaisse. Quel type de distribution la variable aléatoire X suit-elle ?

Réponse : X suit une distribution géométrique car nous souhaitons estimer le nombre de lancers requis jusqu’à ce que nous obtenions finalement un 4. Il ne s’agit pas d’une distribution binomiale car il n’y a pas de nombre fixe d’essais.

Problème 2 : tirer des lancers francs

Tyler réussit 80 % de tous les lancers francs qu’il tente. Supposons qu’il réussisse 10 lancers francs. Soit X le nombre de fois où Tyler réussit un panier au cours des 10 tentatives. Quel type de distribution la variable aléatoire X suit-elle ?

Réponse : X suit une distribution binomiale car il existe un nombre fixe d’essais (10 tentatives), la probabilité de « réussite » pour chaque essai est la même et chaque essai est indépendant.

Ressources additionnelles

Calculateur de distribution binomiale
Calculateur de distribution géométrique