Comment calculer les degrés de liberté pour n’importe quel test T

En statistiques, il existe trois tests t couramment utilisés :

Test t sur un échantillon : utilisé pour comparer la moyenne d’une population à une certaine valeur.

Test t à deux échantillons : utilisé pour comparer deux moyennes de population.

Test t pour échantillons appariés : utilisé pour comparer les moyennes de deux populations lorsque chaque observation dans un échantillon peut être associée à une observation dans l’autre échantillon.

Lors de l’exécution de chaque test t, vous devrez calculer une statistique de test et les degrés de liberté correspondants.

Voici comment calculer les degrés de liberté pour chaque type de test :

Test t sur un échantillon : df = n-1 où n est le nombre total d’observations.

Test t à deux échantillons : df = n ₁ + n ₂ – 2 où n ₁ , n ₂ sont le total des observations de chaque échantillon.

Test t pour échantillons appariés : n-1 où n est le nombre total de paires.

Les exemples suivants montrent comment calculer les degrés de liberté pour chaque type de test t en pratique.

Exemple 1 : Degrés de liberté pour un test t sur un échantillon

Supposons que nous voulions savoir si le poids moyen d’une certaine espèce de tortue est égal ou non à 310 livres.

Supposons que nous collections un échantillon aléatoire de tortues avec les informations suivantes :

• Taille de l’échantillon n = 40
• Poids moyen de l’échantillon x = 300
• Écart type de l’échantillon s = 18,5

Nous effectuerons un test t sur un échantillon avec les hypothèses suivantes :

• H ₀ : μ = 310 (la moyenne de la population est égale à 310 livres)
• H _A : μ ≠ 310 (la moyenne de la population n’est pas égale à 310 livres)

Tout d’abord, nous allons calculer la statistique du test :

t = ( x – μ) / (s/√ n ) = (300-310) / (18,5/√ 40 ) = -3,4187

Ensuite, nous allons calculer les degrés de liberté :

df = n -1 = 40 – 1 = 39

Enfin, nous intégrerons les statistiques de test et les degrés de liberté dans le calculateur de score T à valeur P pour constater que la valeur p est 0,00149 .

Puisque cette valeur p est inférieure à notre niveau de signification α = 0,05, nous rejetons l’hypothèse nulle. Nous avons suffisamment de preuves pour affirmer que le poids moyen de cette espèce de tortue n’est pas égal à 310 livres.

Exemple 2 : Degrés de liberté pour un test t à deux échantillons

Supposons que nous voulions savoir si le poids moyen de deux espèces différentes de tortues est égal ou non.

Supposons que nous collections un échantillon aléatoire de tortues de chaque population avec les informations suivantes :

Échantillon 1 :

• Taille de l’échantillon n ₁ = 40
• Poids moyen de l’échantillon x ₁ = 300
• Écart type de l’échantillon s ₁ = 18,5

Échantillon 2 :

• Taille de l’échantillon n ₂ = 38
• Poids moyen de l’échantillon x ₂ = 305
• Écart type de l’échantillon s ₂ = 16,7

Nous effectuerons un test t à deux échantillons avec les hypothèses suivantes :

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (les deux moyennes de population sont égales)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (les deux moyennes de population ne sont pas égales)

Tout d’abord, nous calculerons l’ écart type poolé s _p :

s _p = √ (n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² / (n ₁ +n ₂ -2) = √ (40-1)18,5 ² + (38-1)16,7 ² / (40+38-2) = 17,647

Ensuite, nous calculerons la statistique de test t :

t = ( x ₁ – x ₂ ) / s _p (√ 1/n ₁ + 1/n ₂ ) = (300-305) / 17,647(√ 1/40 + 1/38 ) = -1,2508

Ensuite, nous allons calculer les degrés de liberté :

df = n ₁ + n ₂ – 2 = 40 + 38 – 2 = 76

Enfin, nous intégrerons les statistiques de test et les degrés de liberté dans le calculateur de score T à valeur P pour constater que la valeur p est de 0,21484 .

Puisque cette valeur p n’est pas inférieure à notre niveau de signification α = 0,05, nous ne parvenons pas à rejeter l’hypothèse nulle. Nous ne disposons pas de preuves suffisantes pour affirmer que le poids moyen des tortues entre ces deux populations est différent.

Exemple 3 : Degrés de liberté pour le test t pour échantillons appariés

Supposons que nous voulions savoir si un certain programme d’entraînement est capable ou non d’augmenter le saut vertical maximum (en pouces) des joueurs de basket-ball universitaires.

Pour tester cela, nous pouvons recruter un échantillon aléatoire simple de 20 joueurs de basket-ball universitaire et mesurer chacun de leurs sauts verticaux maximum. Ensuite, nous pouvons demander à chaque joueur d’utiliser le programme d’entraînement pendant un mois, puis de mesurer à nouveau son saut vertical maximum à la fin du mois.

Pour déterminer si le programme d’entraînement a réellement eu un effet sur le saut vertical maximum, nous effectuerons un test t pour échantillons appariés.

Tout d’abord, nous allons calculer les données récapitulatives suivantes pour les différences :

• x _diff : moyenne échantillon des différences = -0,95
• s : écart type de l’échantillon des différences = 1,317
• n : taille de l’échantillon (c’est-à-dire nombre de paires) = 20

Nous effectuerons un test t pour échantillons appariés avec les hypothèses suivantes :

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (les deux moyennes de population sont égales)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (les deux moyennes de population ne sont pas égales)

Ensuite, nous calculerons la statistique du test :

t = x _diff / (s _diff /√n) = -0,95 / (1,317/√20) = -3,226

Ensuite, nous allons calculer les degrés de liberté :

df = n – 1 = 20 – 1 = 19

Selon le calculateur de score T vers P Value , la valeur p associée à t = -3,226 et aux degrés de liberté = n-1 = 20-1 = 19 est de 0,00445 .

Puisque cette valeur p est inférieure à notre niveau de signification α = 0,05, nous rejetons l’hypothèse nulle. Nous disposons de suffisamment de preuves pour affirmer que le saut vertical moyen maximum des joueurs est différent avant et après leur participation au programme d’entraînement.

Ressources additionnelles

Les calculatrices suivantes peuvent être utilisées pour effectuer automatiquement des tests t basés sur les données que vous fournissez :

Un exemple de calculateur de test t
Calculateur de test t à deux échantillons
Calculateur de test t pour échantillons appariés