估计区间

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了统计学中的区间估计。您还将了解如何执行区间估计，以及最后，区间估计与点估计有何不同。

什么是区间估计？

在统计学中，区间估计是使用区间估计总体参数值的过程。更准确地说，区间估计涉及计算最有可能以一定置信度找到参数值的区间。

例如，如果在区间估计中，我们得出总体均值的置信区间为 (3.7) 且置信水平为 95% 的结论，这意味着所研究总体的均值将在 3 到 7 之间，且置信水平为概率为95%。

一般来说，人口规模太大，无法研究其所有个体，因此无法确定其统计测量值，而只是一个近似值。

因此，区间估计用于根据样本数据提供总体参数所在值范围的近似值。这样，可以根据样本研究的数据来估计总体参数的值。

最后，要充分理解区间估计的含义，需要明确置信区间的概念。置信区间是提供总体参数值之间的近似值（具有一定误差范围）的区间。因此，置信区间是从区间估计得到的结果。

➤请参阅：什么是置信区间？

区间估计公式

您将在下面找到用于估计置信区间的不同公式，因为根据您是否希望估计平均值、方差或比例的置信区间，要使用的公式是不同的。

平均值的置信区间

假设输入变量的过程如下：

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

平均值的置信区间是通过在样本平均值中加上和减去 Z _α/2的值乘以标准差 (σ) 再除以样本大小 (n) 的平方根来计算的。因此，均值置信区间的计算公式为：

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

对于大样本量和 95% 置信水平，临界值为 Z _α/2 = 1.96；对于 99% 置信水平，临界值为 Z _α/2 = 2.576。

当总体方差已知时，使用上述公式。但是，如果总体方差未知（这是最常见的情况），则使用以下公式计算平均值的置信区间：

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

金子：

$\overline{x}$

是样本均值。
$t_{\alpha/2}$

是 n-1 个自由度的 Student t 分布的值，概率为 α/2。
$s$

是样本标准差。
$n$

是样本大小。

➤请参阅：计算平均值置信区间的实际示例

方差的置信区间

为了计算总体方差的置信区间，使用卡方分布。更具体地说，计算方差置信区间的公式为：

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

金子：

$n$

是样本大小。
$s$

是样本标准差。
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

是具有 n-1 个自由度且概率小于 α/2 的卡方分布的值。
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

是具有 n-1 个自由度、概率大于 1-α/2 的卡方分布的值。

➤请参阅：计算方差置信区间的实际示例

比例的置信区间

比例的置信区间是通过从样本比例中添加和减去 Z _α/2的值乘以样本比例的平方根 (p) 乘以 1-p 再除以样本大小 (n) 来计算的。因此，计算比例置信区间的公式为：

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

金子：

$p$

是样本比例。
$n$

是样本大小。
$Z_{\alpha/2}$

是对应于 α/2 概率的标准正态分布的分位数。对于大样本量和 95% 置信水平，它通常接近 1.96；对于 99% 置信水平，它通常接近 2.576。

➤请参阅：计算比例置信区间的实际示例

区间估计和点估计

最后，我们将看到区间估计和点估计之间的区别，因为总体参数的值可以使用区间（正如我们在整篇文章中看到的那样）或通过点值来估计。

区间估计和点估计的区别在于参数估计中使用的值的范围。在区间估计中，参数被近似为置信区间，而在点估计中，参数被近似为特定值。

因此，在点估计中，根据样本数据计算出的单个值被视为总体参数值的近似值。例如，可以使用样本平均值来准确估计总体平均值。

因此，点估计与区间估计相比具有优点和缺点，使得每种类型的估计都适合在给定情况下使用。要了解更多信息，请单击以下链接：

➤请参阅：什么是点估计？

关于作者

本杰明·安德森博

大家好，我是本杰明，一位退休的统计学教授，后来成为 Statorials 的热心教师。凭借在统计领域的丰富经验和专业知识，我渴望分享我的知识，通过 Statorials 增强学生的能力。了解更多