均值差异的假设检验

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了统计学中的均值差异假设检验是什么以及它的用途。同样，您将了解如何对均值差异进行假设检验以及逐步解决的练习。

什么是均值差异的假设检验？

均值差异的假设检验是一种统计检验，用于拒绝或接受两个总体的均值不同的假设。即均值差异假设检验用于确定两个总体的均值是否相同或不同。

请记住，假设检验中做出的决策是基于先前建立的置信水平，因此不能保证假设检验的结果始终正确，而是保证它是最有可能为真的结果。

对两个均值差异的假设检验涉及计算检验统计量并将其与临界值进行比较以拒绝零假设。下面我们将了解如何对均值差异进行假设检验。

最后，请记住，在统计学中，假设检验也可以称为假设对比、假设检验或显着性检验。

➤请参阅：均值差异的抽样分布

均值差异的假设检验公式

用于检验均值差异假设的公式会有所不同，具体取决于总体方差是否已知，如果未知，则是否可以假设它们相同或不同。因此，在本节中，我们将根据情况了解使用哪个公式。

已知的变化

当方差已知时，计算均值差异的假设检验统计量的公式如下：

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

金子：

$Z$

是已知方差的两个均值之差的假设检验统计量，遵循标准正态分布。
$\mu_1$

是总体 1 的平均值。
$\mu_2$

是总体 2 的平均值。
$\overline{x_1}$

是样本 1 的平均值。
$\overline{x_2}$

是样本 2 的平均值。
$\sigma_1$

是总体 1 的标准差。
$\sigma_2$

是总体 2 的标准差。
$n_1$

是样本量 1。
$n_2$

是样本量 2。

请记住，这是最不常见的情况，因此该公式仅在某些特定情况下使用。

未知且相等的偏差

当总体方差未知但假设相等时，计算均值差异的假设检验统计量的公式为：

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$

金子：

$t$

是方差未知的均值差异的假设检验统计量，遵循自由度为 n ₁ + n ₂ -2 的 Student t 分布。
$\mu_1$

是总体 1 的平均值。
$\mu_2$

是总体 2 的平均值。
$\overline{x_1}$

是样本 1 的平均值。
$\overline{x_2}$

是样本 2 的平均值。
$s_p$

是组合标准差。
$n_1$

是样本量 1。
$n_2$

是样本量 2。

两个样本的组合标准差按下式计算：

$\displaystyle s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$

未知和不同的变化

当总体方差未知并且假设它们不同时，均值差异的假设检验统计量的计算公式如下：

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

金子：

$t$

是方差未知的均值差异的假设检验统计量，遵循 Student t 分布。
$\mu_1$

是总体 1 的平均值。
$\mu_2$

是总体 2 的平均值。
$\overline{x_1}$

是样本 1 的平均值。
$\overline{x_2}$

是样本 2 的平均值。
$\sigma_1$

是总体 1 的标准差。
$\sigma_2$

是总体 2 的标准差。
$n_1$

是样本量 1。
$n_2$

是样本量 2。

但是，在这种情况下，Student t 分布的自由度使用以下公式计算：

$\displaystyle GL=\frac{\displaystyle\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{s_1^2}{n_1}}{n_1-1}+\frac{\displaystyle\frac{s_2^2}{n_2}}{n_2-1}}$

➤请参阅：均值差的置信区间公式

均值差异假设检验的具体示例

为了完成对均值差异的假设检验概念的理解，我们将看到此类假设检验的具体示例。

您想要对两家竞争公司的薪资进行统计研究，更具体地说，您想要确定两家公司的平均薪资是否不同。为此，我们抽取了一家公司的 47 名工人样本和另一家公司的 55 名工人样本。从第一个样本中获得的平均工资为 40,000 美元，标准差为 12,000 美元，而从第二个样本中获得的平均工资为 46,000 美元，标准差为 18,000 美元。执行 5% 显着性水平的假设检验，以确定平均工资是否不同。

在这种情况下，两个均值差异的假设检验的原假设和备择假设如下：

$\begin{cases}H_0: \mu_1-\mu_2=0\\[2ex] H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0 \end{cases}$

在这种情况下，人口差距是未知的，但可以假设它们是相等的，因为它们是竞争公司，并且它们所经营的市场的工作条件非常相似。因此，我们应该使用均值差异的假设检验统计量的公式为：

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$

因此，我们计算两个样本的合并标准差：

$\begin{aligned}\displaystyle s_p&=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\\[2ex]\displaystyle s_p&=\sqrt{\frac{(47-1)\cdot 12000^2+(55-1)\cdot 18000^2}{47+55-2}}\\[2ex]s_p&=15530,61\end{aligned}$

我们现在应用假设检验公式来计算均值差异：

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\cfrac{(40000-46000)-0}{\displaystyle 15530,61\sqrt{\frac{1}{47}+\frac{1}{55}}}=-1,94$