Coefficient d’asymétrie

Par Pr Amélia Rodriguez août 5, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est le coefficient d’asymétrie, comment il est calculé et comment l’interpréter. Concrètement, vous découvrirez comment calculer les trois types de coefficients d’asymétrie les plus utilisés en statistique.

Quel est le coefficient d’asymétrie ?

En statistique, le coefficient d’asymétrie est un coefficient qui permet de calculer l’asymétrie d’une distribution. Autrement dit, le coefficient d’asymétrie est utilisé pour déterminer si une fonction est positivement asymétrique, négativement asymétrique ou symétrique.

Le coefficient d’asymétrie peut également être appelé indice d’asymétrie .

Gardez à l’esprit que l’asymétrie d’une distribution dépend de la forme de la courbe. Ainsi, les différents types d’asymétrie sont :

Asymétrie positive : La distribution a plus de valeurs différentes à droite de la moyenne qu’à gauche.
Asymétrie négative : La distribution a plus de valeurs différentes à gauche de la moyenne qu’à sa droite.
Symétrie : La distribution a le même nombre de valeurs à gauche qu’à droite de la moyenne.

Principalement, trois types de coefficients d’asymétrie sont utilisés selon les cas : le coefficient de Fisher, le coefficient de Pearson et le coefficient de Bowley. La manière de calculer chaque type de coefficient d’asymétrie est expliquée en détail ci-dessous.

Coefficient d’asymétrie de Fisher

Le coefficient d’asymétrie de Fisher est égal au troisième moment autour de la moyenne divisé par l’écart type de l’échantillon. Par conséquent, la formule du coefficient d’asymétrie de Fisher est la suivante :

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

De manière équivalente, l’une ou l’autre des deux formules suivantes peut être utilisée pour calculer le coefficient de Fisher :

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Où

$E$ est l’espérance mathématique, $\mu$ la moyenne arithmétique, $\sigma$ l’écart type et $N$ le nombre total de données.

En revanche, si les données sont regroupées vous pouvez utiliser la formule suivante :

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Où dans ce cas

$x_i$ C’est la marque de la classe et $f_i$ la fréquence absolue du cours.

Une fois sa valeur calculée, l’interprétation du coefficient d’asymétrie de Fisher est la suivante :

Si le coefficient d’asymétrie de Fisher est positif, la distribution est positivement asymétrique.
Si le coefficient d’asymétrie de Fisher est négatif, la distribution est asymétrique négativement.
Si la distribution est symétrique, le coefficient d’asymétrie de Fisher est égal à zéro. L’inverse n’est pas vrai, ce qui signifie que le fait que le coefficient de Fisher soit nul n’implique pas toujours que la distribution est symétrique.

Coefficient d’asymétrie de Pearson

Le coefficient d’asymétrie de Pearson est égal à la différence entre la moyenne et le mode de l’échantillon divisée par son écart type (ou écart type). La formule du coefficient d’asymétrie de Pearson est donc la suivante :

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Où

$A_p$ est le coefficient de Pearson, $\mu$ la moyenne arithmétique, $Mo$ la mode et $\sigma$ l’écart type.

Gardez à l’esprit que le coefficient d’asymétrie de Pearson ne peut être calculé que s’il s’agit d’une distribution unimodale, c’est-à-dire s’il existe un seul mode dans les données.

Dans certains livres de statistiques, le coefficient d’asymétrie de Pearson est calculé en utilisant la médiane au lieu du mode, mais en général, la formule ci-dessus est utilisée.

Une fois le coefficient d’asymétrie de Pearson calculé, sa valeur doit être interprétée selon les règles suivantes :

Si le coefficient d’asymétrie de Pearson est positif, cela signifie que la distribution est positivement asymétrique.
Si le coefficient d’asymétrie de Pearson est négatif, cela signifie que la distribution est asymétrique négativement.
Si le coefficient d’asymétrie de Pearson est égal à zéro, cela signifie que la distribution est symétrique.

Coefficient d’asymétrie de Bowley

Le coefficient d’asymétrie de Bowley est égal à la somme du troisième quartile plus le premier quartile moins deux fois la médiane divisée par la différence entre le troisième et le premier quartile. La formule de ce coefficient d’asymétrie est donc la suivante :

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Où

$Q_1$ et $Q_3$ Il s’agit respectivement du premier et du troisième quartile et $Me$ est la médiane de la distribution.

Rappelons que la médiane d’une distribution coïncide avec le deuxième quartile.

➤ Voir : comment trouver les quartiles

L’interprétation du coefficient de Bowley se fait de la même manière que dans les deux types de coefficients d’asymétrie précédents :

Si le coefficient d’asymétrie de Bowley est positif, la distribution est positivement asymétrique.
Si le coefficient d’asymétrie de Bowley est négatif, la distribution est asymétrique négativement.
Si le coefficient d’asymétrie de Bowley est égal à zéro, la distribution est symétrique.

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus