Un guide complet : le plan factoriel 2×2

Un plan factoriel 2 × 2 est un type de plan expérimental qui permet aux chercheurs de comprendre les effets de deux variables indépendantes (chacune avec deux niveaux ) sur une seule variable dépendante.

Par exemple, supposons qu’un botaniste souhaite comprendre les effets de la lumière du soleil (faible ou élevée) et de la fréquence d’arrosage (quotidienne ou hebdomadaire) sur la croissance d’une certaine espèce de plante.

Il s’agit d’un exemple de plan factoriel 2×2 car il existe deux variables indépendantes, chacune avec deux niveaux :

• Variable indépendante n°1 : Lumière du soleil
  • Niveaux : faible, élevé
• Variable indépendante n°2 : Fréquence d’arrosage
  • Niveaux : quotidien, hebdomadaire

Et il existe une variable dépendante : la croissance des plantes.

Le but d’un plan factoriel 2 × 2

Un plan factoriel 2×2 permet d’analyser les effets suivants :

Effets principaux : ce sont les effets qu’une seule variable indépendante a sur la variable dépendante.

Par exemple, dans notre scénario précédent, nous pourrions analyser les principaux effets suivants :

• Principal effet du soleil sur la croissance des plantes.
  • Nous pouvons trouver la croissance moyenne de toutes les plantes ayant reçu un faible ensoleillement.
  • Nous pouvons trouver la croissance moyenne de toutes les plantes ayant reçu un ensoleillement élevé.
• Effet principal de la fréquence d’arrosage sur la croissance des plantes.
  • Nous pouvons trouver la croissance moyenne de toutes les plantes arrosées quotidiennement.
  • Nous pouvons trouver la croissance moyenne de toutes les plantes arrosées chaque semaine.

Effets d’interaction : ils se produisent lorsque l’effet d’une variable indépendante sur la variable dépendante dépend du niveau de l’autre variable indépendante.

Par exemple, dans notre scénario précédent, nous pourrions analyser les effets d’interaction suivants :

• L’effet du soleil sur la croissance des plantes dépend-il de la fréquence des arrosages ?
• L’effet de la fréquence d’arrosage sur la croissance des plantes dépend-il de l’ensoleillement ?

Visualiser les principaux effets et les effets d’interaction

Lorsque nous utilisons un plan factoriel 2 × 2, nous représentons souvent graphiquement les moyennes pour mieux comprendre les effets que les variables indépendantes ont sur la variable dépendante.

Par exemple, considérons le tracé suivant :

Voici comment interpréter les valeurs dans le tracé :

• La croissance moyenne des plantes ayant reçu un ensoleillement intense et un arrosage quotidien était d’environ 8,2 pouces.
• La croissance moyenne des plantes ayant reçu un ensoleillement élevé et un arrosage hebdomadaire était d’environ 9,6 pouces.
• La croissance moyenne des plantes ayant reçu un faible ensoleillement et un arrosage quotidien était d’environ 5,3 pouces.
• La croissance moyenne des plantes ayant reçu un faible ensoleillement et un arrosage hebdomadaire était d’environ 5,8 pouces.

Pour déterminer s’il existe un effet d’interaction entre les deux variables indépendantes, il suffit de vérifier si les droites sont parallèles ou non :

• Si les deux droites du tracé sont parallèles, il n’y a pas d’effet d’interaction.
• Si les deux droites du tracé ne sont pas parallèles, il y a un effet d’interaction.

Dans le graphique précédent, les deux lignes étaient à peu près parallèles, il n’y a donc probablement aucun effet d’interaction entre la fréquence d’arrosage et l’exposition au soleil.

Cependant, considérons le tracé suivant :

Les deux droites ne sont pas du tout parallèles (en fait, elles se croisent !), ce qui indique qu’il y a probablement un effet d’interaction entre elles.

Par exemple, cela signifie que l’effet de la lumière du soleil sur la croissance des plantes dépend de la fréquence d’arrosage.

En d’autres termes, la lumière du soleil et la fréquence des arrosages n’affectent pas indépendamment la croissance des plantes. Il existe plutôt un effet d’interaction entre les deux variables indépendantes.

Comment analyser un plan factoriel 2×2

Tracer les moyennes est un moyen visuel d’inspecter les effets que les variables indépendantes ont sur la variable dépendante.

Cependant, nous pouvons également effectuer une ANOVA bidirectionnelle pour tester formellement si les variables indépendantes ont ou non une relation statistiquement significative avec la variable dépendante.

Par exemple, le code suivant montre comment effectuer une ANOVA bidirectionnelle pour notre scénario d’usine hypothétique dans R :

#make this example reproducible
set.seed(0)

df <- data.frame(sunlight = rep(c('Low', 'High'), each = 30),
                 water = rep(c('Daily', 'Weekly'), each = 15, times = 2),
                 growth = c(rnorm(15, 6, 2), rnorm(15, 7, 3), rnorm(15, 7, 2),
                                   rnorm(15, 10, 3)))

#fit the two-way ANOVA model
model <- aov(growth ~ sunlight * water, data = df)

#view the model output
summary(model)

               Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
sunlight        1   52.5   52.48   8.440 0.00525 **
water           1   31.6   31.59   5.081 0.02813 * 
sunlight:water  1   12.8   12.85   2.066 0.15620   
Residuals      56  348.2    6.22                   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Voici comment interpréter le résultat de l’ANOVA :

• La valeur p associée à la lumière du soleil est de 0,005 . Comme ce chiffre est inférieur à 0,05, cela signifie que l’exposition au soleil a un effet statistiquement significatif sur la croissance des plantes.
• La valeur p associée à l’eau est de 0,028 . Comme ce chiffre est inférieur à 0,05, cela signifie que la fréquence d’arrosage a également un effet statistiquement significatif sur la croissance des plantes.
• La valeur p pour l’interaction entre la lumière du soleil et l’eau est de 0,156 . Comme ce chiffre n’est pas inférieur à 0,05, cela signifie qu’il n’y a aucun effet d’interaction entre la lumière du soleil et l’eau.

Ressources additionnelles

Un guide complet : le plan factoriel 2 × 3
Que sont les niveaux d’une variable indépendante ?
Variables indépendantes ou dépendantes
Qu’est-ce qu’une ANOVA Factorielle ?