Contraste d’hypothèse

Par Pr Amélia Rodriguez août 3, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est un test d’hypothèse en statistique. Ainsi, vous découvrirez comment faire un test d’hypothèse, les différents types de tests d’hypothèse et les erreurs possibles qui peuvent être commises lors de la réalisation d’un test d’hypothèse.

Qu’est-ce qu’un test d’hypothèse ?

Un test d’hypothèse est une procédure utilisée pour rejeter ou non une hypothèse statistique. Dans un test d’hypothèse, on juge si la valeur d’un paramètre de population est compatible avec ce qui est observé dans un échantillon de ladite population.

Autrement dit, dans un test d’hypothèse, un échantillon statistique est analysé et, sur la base des résultats obtenus, il est déterminé s’il convient de rejeter ou d’accepter une hypothèse préalablement établie.

Gardez à l’esprit qu’en général, à partir d’un test d’hypothèse, on ne peut pas déduire avec une totale certitude qu’une hypothèse est vraie ou fausse, mais qu’une hypothèse est simplement rejetée ou non en fonction des résultats obtenus. Ainsi, lors du test d’hypothèse, une erreur peut toujours être commise même s’il existe des preuves statistiques indiquant que la décision prise est la plus probable.

En statistiques, un test d’hypothèse est également appelé test d’hypothèse , test d’hypothèse ou test de signification .

La théorie des tests d’hypothèses a été établie par le statisticien anglais Ronald Fisher et développée par Jerzy Neyman et Egon Pearson.

Hypothèse nulle et hypothèse alternative

Un test d’hypothèse est composé de deux types d’hypothèses statistiques :

Hypothèse nulle (H ₀ ) : c’est l’hypothèse qui soutient que l’hypothèse initiale que l’on a concernant un paramètre de population est fausse. L’hypothèse nulle est donc l’hypothèse que l’on souhaite rejeter.
Hypothèse alternative (H ₁ ) : est l’hypothèse de recherche dont la véracité est censée être prouvée. C’est-à-dire que l’hypothèse alternative est une hypothèse préalable du chercheur et pour essayer de prouver qu’elle est vraie, l’hypothèse de contraste sera réalisée.

En pratique, l’hypothèse alternative est formulée avant l’hypothèse nulle, puisque c’est l’hypothèse qui est destinée à être corroborée par l’analyse statistique d’un échantillon de données. L’hypothèse nulle est alors formulée simplement en contredisant l’hypothèse alternative.

Types de tests d’hypothèse

Les tests d’hypothèse peuvent être classés en deux types différents :

Tests d’hypothèses bilatéraux (ou tests d’hypothèses bilatéraux) : L’hypothèse alternative de test d’hypothèses stipule que le paramètre de population est « différent » d’une valeur spécifique.
Test d’hypothèse unilatéral (ou test d’hypothèse unilatéral) : L’hypothèse alternative de test d’hypothèse indique que le paramètre de population est « supérieur à » (queue droite) ou « inférieur à » (queue gauche) une valeur spécifique.

Tests d’hypothèses bilatéraux

$\begin{cases}H_0: \mu=\mu_0\\[2ex]H_1:\mu\neq\mu_0\end{cases}$

Test d’hypothèse unilatéral (queue droite)

$\begin{cases}H_0: \mu\leq \mu_0\\[2ex]H_1:\mu>\mu_0\end{cases}$

Test d’hypothèse unilatéral (queue gauche)

$\begin{cases}H_0: \mu\geq\mu_0\\[2ex]H_1:\mu<\mu_0\end{cases}$

Région de rejet et région d’acceptation d’un test d’hypothèse

Comme nous le verrons en détail ci-dessous, le test d’hypothèse consiste à calculer une valeur caractéristique de chaque type de test d’hypothèse, cette valeur est appelée statistique du test d’hypothèse. Ainsi, une fois la statistique de contraste calculée, il faut observer dans laquelle des deux régions suivantes elle se situe pour parvenir à une conclusion :

Région de rejet (ou région critique) : c’est l’aire du graphique de la distribution de référence du test d’hypothèse qui implique de rejeter l’hypothèse nulle (et d’accepter l’hypothèse alternative).
Région d’acceptation : c’est l’aire du graphique de la distribution de référence du test d’hypothèse qui implique l’acceptation de l’hypothèse nulle (et le rejet de l’hypothèse alternative).

En bref, si la statistique du test se situe dans la zone de rejet, l’hypothèse nulle est rejetée et l’hypothèse alternative est acceptée. Au contraire, si la statistique du test se situe dans la région d’acceptation, l’hypothèse nulle est acceptée et l’hypothèse alternative est rejetée.

Les valeurs qui établissent les limites de la région de rejet et de la région d’acceptation sont appelées valeurs critiques , de même, l’intervalle de valeurs qui définit la région de rejet est appelé intervalle de confiance . Et les deux valeurs dépendent du niveau de signification choisi.

➤ Voir : Niveau de signification alpha

D’autre part, la décision de rejeter ou d’accepter l’hypothèse nulle peut également être prise en comparant la valeur p (ou valeur p) obtenue à partir du test d’hypothèse avec le niveau de signification choisi.

➤ Voir : Quelle est la valeur p ?

Comment faire un test d’hypothèse

Pour effectuer un test d’hypothèse, les étapes suivantes doivent être suivies :

Énoncez l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative du test d’hypothèse.
Établissez le niveau de signification alpha (α) souhaité.
Calculez la statistique de contraste de l’hypothèse.
Déterminez les valeurs critiques du test d’hypothèse pour connaître la région de rejet et la région d’acceptation du test d’hypothèse.
Observez si la statistique de contraste de l’hypothèse se situe dans la région de rejet ou dans la région d’acceptation.
Si la statistique se situe dans la région de rejet, l’hypothèse nulle est rejetée (et l’hypothèse alternative est acceptée). Mais si la statistique tombe dans la zone d’acceptation, l’hypothèse nulle est acceptée (et l’hypothèse alternative est rejetée).

➤ Voir : Test d’hypothèse pour la moyenne
➤ Voir : Test d’hypothèse pour la proportion
➤ Voir : Test d’hypothèse pour la variance

Erreurs d’un test d’hypothèse

Dans un test d’hypothèse, lors du rejet d’une hypothèse et de l’acceptation de l’autre hypothèse du test, l’une des deux erreurs suivantes peut être commise :

Erreur de type I : C’est l’erreur commise lors du rejet de l’hypothèse nulle alors qu’elle est réellement vraie.
Erreur de type II : c’est l’erreur commise en acceptant l’hypothèse nulle alors qu’elle est réellement fausse.

D’autre part, la probabilité de commettre chaque type d’erreur s’appelle comme suit :

Probabilité alpha (α) : est la probabilité de commettre l’erreur de type I.
Probabilité bêta (β) : est la probabilité de commettre l’erreur de type II.

De même, la puissance du test d’hypothèse est définie comme la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle (H ₀ ) lorsqu’elle est fausse, ou en d’autres termes, c’est la probabilité de choisir l’hypothèse alternative (H ₁ ) lorsqu’elle est vraie. La puissance du test d’hypothèse est donc égale à 1-β.

Statistiques de tests d’hypothèses

La statistique d’un test d’hypothèse est la valeur de la distribution de référence du test d’hypothèse qui est utilisée pour déterminer si l’hypothèse nulle est rejetée ou non. Si la statistique de test tombe dans la région de rejet, l’hypothèse nulle est rejetée (et l’hypothèse alternative est acceptée), par contre, si la statistique de test tombe dans la région d’acceptation, l’hypothèse nulle est acceptée (et l’hypothèse alternative est rejetée).hypothèse alternative).

Le calcul de la statistique du test d’hypothèse dépend du type de test. Par conséquent, la formule permettant de calculer la statistique de chaque type de test d’hypothèse est présentée ci-dessous.

Test d’hypothèse pour la moyenne

La formule de la statistique du test d’hypothèse pour la moyenne avec une variance connue est la suivante :

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Où:

$Z$ est la statistique de contraste d’hypothèse pour la moyenne.
$\overline{x}$ est la moyenne de l’échantillon.
$\mu$ est la valeur moyenne proposée.
$\sigma$ est l’écart type de la population.
$n$ est la taille de l’échantillon.

Une fois la statistique de test d’hypothèse pour la moyenne calculée, le résultat doit être interprété pour rejeter ou non l’hypothèse nulle :

Si le test d’hypothèse pour la moyenne est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la valeur absolue de la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α/2 .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Dans ce cas, les valeurs critiques sont obtenues à partir du tableau de la distribution normale standardisée.

D’autre part, la formule de la statistique du test d’hypothèse pour la moyenne avec une variance inconnue est la suivante :

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Où:

$t$ est la statistique du test d’hypothèse pour la moyenne, qui est définie par la distribution t de Student.
$\overline{x}$ est la moyenne de l’échantillon.
$\mu$ est la valeur moyenne proposée.
$s$ est l’écart type de l’échantillon.
$n$ est la taille de l’échantillon.

Comme précédemment, le résultat calculé de la statistique de test doit être interprété avec la valeur critique pour rejeter ou non l’hypothèse nulle :

Si le test d’hypothèse pour la moyenne est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la valeur absolue de la statistique est supérieure à la valeur critique t _α/2|n-1 .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique t _α|n-1 .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Lorsque la variance est inconnue, les valeurs critiques du test sont obtenues à partir de la table de distribution t de Student.

Test d’hypothèse pour la proportion

La formule de la statistique de test d’hypothèse pour la proportion est la suivante :

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Où:

$Z$ est la statistique du test d’hypothèse pour la proportion.
$\widehat{p}$ est la proportion de l’échantillon.
$p$ est la valeur de proportion proposée.
$n$ est la taille de l’échantillon.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ est l’écart type de la proportion.

Gardez à l’esprit qu’il ne suffit pas de calculer la statistique du test d’hypothèse pour la proportion, mais le résultat doit ensuite être interprété :

Si le test d’hypothèse pour la proportion est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la valeur absolue de la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α/2 .
Si le test d’hypothèse pour la proportion correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α .
Si le test d’hypothèse pour la proportion correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

N’oubliez pas que les valeurs critiques peuvent être facilement obtenues à partir du tableau de la distribution normale standard.

Test d’hypothèse pour la variance

La formule pour calculer la statistique du test d’hypothèse pour la variance est la suivante :

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Où:

$\chi^2$ est la statistique de test d’hypothèse pour la variance, qui a une distribution du chi carré.
$n$ est la taille de l’échantillon.
$s^2$ est la variance de l’échantillon.
$\sigma^2$ est la variance de la population proposée.

Pour interpréter le résultat de la statistique, la valeur obtenue doit être comparée à la valeur critique du test.

Si le test d’hypothèse pour la variance est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique. $\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$ ou si la valeur critique est inférieure à $\chi_{\alpha/2|n-1}$ .
Si le test d’hypothèse pour la variance correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique $\chi_{1-\alpha|n-1}^2$ .
Si le test d’hypothèse pour la variance correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique $\chi_{\alpha|n-1}$ .

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Les valeurs critiques du test d’hypothèse pour la variance sont obtenues à partir du tableau de distribution du chi carré. Notez que les degrés de liberté pour la distribution du Chi carré correspondent à la taille de l’échantillon moins 1.

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus