4 echte beispiele für exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der die Zeit modelliert wird, die wir warten müssen, bis ein bestimmtes Ereignis eintritt.

Wenn eine Zufallsvariable X einer Exponentialverteilung folgt, kann die kumulative Dichtefunktion von X geschrieben werden:

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

Gold:

• λ: der Geschwindigkeitsparameter (berechnet als λ = 1/μ)
• e: Eine Konstante, die ungefähr 2,718 entspricht

In diesem Artikel teilen wir 5 Beispiele für Exponentialverteilung im wirklichen Leben.

Beispiel 1: Zeit zwischen Geysirausbrüchen

Die Anzahl der Minuten zwischen den Ausbrüchen eines bestimmten Geysirs kann durch die Exponentialverteilung modelliert werden.

Angenommen, die durchschnittliche Anzahl der Minuten zwischen den Ausbrüchen eines bestimmten Geysirs beträgt 40 Minuten. Wenn ein Geysir ausbricht, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 50 Minuten auf den nächsten Ausbruch warten müssen?

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir zunächst den Geschwindigkeitsparameter berechnen:

• λ = 1/µ
• λ = 1/40
• λ = 0,025

Wir können λ = 0,025 und x = 50 in die CDF-Formel einsetzen:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 50 Minuten auf den nächsten Ausbruch warten müssen, beträgt 0,7135 .

Beispiel 2: Zeit zwischen Kunden

Die Anzahl der Minuten zwischen Kunden, die ein bestimmtes Geschäft betreten, kann durch die Exponentialverteilung modelliert werden.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass durchschnittlich alle zwei Minuten ein neuer Kunde ein Geschäft betritt. Bestimmen Sie nach der Ankunft eines Kunden die Wahrscheinlichkeit, dass in weniger als einer Minute ein neuer Kunde eintrifft.

Um dieses Problem zu lösen, können wir zunächst wissen, dass die durchschnittliche Zeit zwischen Clients zwei Minuten beträgt. Somit kann der Satz wie folgt berechnet werden:

• λ = 1/µ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

Wir können λ = 0,5 und x = 1 in die CDF-Formel einsetzen:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als eine Minute auf den nächsten Kunden warten müssen, beträgt 0,3935 .

Beispiel 3: Zeit zwischen Erdbeben  

Die Zeit zwischen Erdbebenereignissen kann mithilfe einer Exponentialverteilung modelliert werden.

Angenommen, in einer bestimmten Region ereignet sich durchschnittlich alle 400 Tage ein Erdbeben. Bestimmen Sie nach einem Erdbeben die Wahrscheinlichkeit, dass es mehr als 500 Tage dauert, bis das nächste Erdbeben auftritt.

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir zunächst wissen, dass die durchschnittliche Zeit zwischen Erdbeben 400 Tage beträgt. Somit kann der Satz wie folgt berechnet werden:

• λ = 1/µ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

Wir können λ = 0,0025 und x = 500 in die CDF-Formel einsetzen:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 500 Tage auf das nächste Erdbeben warten müssen, beträgt 0,7135.

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir mehr als 500 Tage auf das nächste Erdbeben warten müssen, beträgt also 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Beispiel 4: Zeit zwischen Anrufen

Die Zeit zwischen Kundenanrufen bei verschiedenen Unternehmen kann mithilfe einer Exponentialverteilung modelliert werden.

Angenommen, eine Bank erhält durchschnittlich alle 10 Minuten einen neuen Anruf. Bestimmen Sie nach einem Kundenanruf die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von 10 bis 15 Minuten ein neuer Kunde anruft.

Um dieses Problem zu lösen, wissen wir zunächst, dass die durchschnittliche Zeit zwischen Anrufen 10 Minuten beträgt. Somit kann der Satz wie folgt berechnet werden:

• λ = 1/µ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Mit der folgenden Formel können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein neuer Kunde innerhalb von 10-15 Minuten anruft:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0,1448

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Kunde innerhalb von 10–15 Minuten anruft. ist 0,1448 .

Zusätzliche Ressourcen

Die folgenden Artikel enthalten Beispiele dafür, wie andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der realen Welt verwendet werden:

6 konkrete Beispiele der Normalverteilung
5 konkrete Beispiele der Binomialverteilung
5 konkrete Beispiele der Poisson-Verteilung
5 konkrete Beispiele für geometrische Verteilung
5 konkrete Beispiele für Gleichverteilung