Événements disjoints ou indépendants : quelle est la différence ?

Deux termes que les élèves confondent souvent sont disjoints et indépendants .

Voici en quelques mots la différence :

On dit que deux événements sont disjoints s’ils ne peuvent pas se produire en même temps.

On dit que deux événements sont indépendants si la survenance d’un événement n’a aucun effet sur la probabilité que l’autre événement se produise.

Les exemples suivants illustrent la différence entre ces deux termes dans divers scénarios.

Exemple 1 : lancer une pièce

Scénario 1 : Supposons que nous tirions à pile ou face une fois. Si nous définissons l’événement A comme la pièce atterrissant sur face et que nous définissons l’événement B comme la pièce atterrissant sur face, alors l’événement A et l’événement B sont disjoints car la pièce ne peut pas atterrir sur face et sur face.

Scénario 2 : Supposons que nous tirons à pile ou face deux fois. Si nous définissons l’événement A comme la pièce tombant sur face au premier lancer et que nous définissons l’événement B comme la pièce tombant sur face au deuxième lancer, alors l’événement A et l’événement B sont indépendants car le résultat d’un tirage au sort n’affecte pas le résultat de l’autre.

Exemple 2 : Lancer un dé

Scénario 1 : Supposons que nous lancions un dé une fois. Si nous laissons l’événement A être l’événement où le dé atterrit sur un nombre pair et l’événement B être l’événement où le dé atterrit sur un nombre impair, alors l’événement A et l’événement B sont disjoints car les dés ne peuvent pas atterrir sur un nombre pair et un nombre impair à la fois.

Scénario 2 : Supposons que nous lancions un dé deux fois. Si nous définissons l’événement A comme le dé tombant sur un « 5 » au premier lancer et que nous définissons l’événement B comme le dé tombant sur un « 5 » au deuxième lancer, alors l’événement A et l’événement B sont indépendants car le résultat de l’un le lancer de dés n’affecte pas le résultat de l’autre.

Exemple 3 : Sélection d’une carte

Scénario 1 : Supposons que nous sélectionnions une carte dans un jeu standard de 52 cartes. Si nous laissons l’événement A être l’événement selon lequel la carte est un Pique et que nous laissons l’événement B être l’événement selon lequel la carte est un Diamant, alors l’événement A et l’événement B sont disjoints car la carte ne peut pas être un Pique et un Diamant. en même temps.

Scénario 2 : Supposons que nous sélectionnions une carte dans un jeu standard de 52 cartes deux fois de suite avec remplacement. Si nous définissons l’événement A comme la carte étant un pique au premier tirage et que nous définissons l’événement B comme la carte étant un pique au deuxième tirage, alors l’événement A et l’événement B sont indépendants car le résultat d’un tirage n’affecte pas le résultat de l’autre.

Notation de probabilité : événements disjoints ou événements indépendants

Écrit en notation probabiliste, on dit que les événements A et B sont disjoints si leur intersection est nulle. Cela peut s’écrire comme suit :

• P(UNE∩B) = 0

Par exemple, supposons que nous lançons un dé une fois. Soit l’événement A l’événement où le dé atterrit sur un nombre pair et l’événement B l’événement où le dé atterrit sur un nombre impair.

Nous définirions l’ espace échantillon pour les événements comme suit :

• UNE = {2, 4, 6}
• B = {1, 3, 5}

Notez qu’il n’y a pas de chevauchement entre les deux espaces échantillonnés. Ainsi, les événements A et B sont des événements disjoints car ils ne peuvent pas se produire tous les deux en même temps.

Ainsi, nous pourrions écrire :

• P(UNE∩B) = 0

De même, écrit en notation probabiliste, nous disons que les événements A et B sont indépendants si ce qui suit est vrai :

• P(A∩B) = P(A) * P(B)

Par exemple, supposons que nous lançons un dé deux fois. Soit l’événement A l’événement où le dé atterrit sur un « 5 » au premier lancer et soit l’événement B l’événement où le dé atterrit sur un « 5 » au deuxième lancer.

Si nous écrivons les 36 façons possibles pour que les dés atterrissent, nous constaterions que dans seulement 1 des 36 scénarios, le dé atterrit sur un « 5 » les deux fois. Ainsi, nous dirions P(A∩B) = 1/36.

On sait aussi que la probabilité que le dé tombe sur un « 5 » lors du premier lancer est P(A) = 1/6.

On sait également que la probabilité que le dé tombe sur un « 5 » lors du deuxième lancer est P(B) = 1/6.

Ainsi, nous pourrions écrire :

• P(A∩B) = P(A) * P(B)
• 1/36 = 1/6 * 1/6
• 1/36 = 1/36

Puisque cette équation est vraie, on pourrait effectivement dire que l’événement A et l’événement B sont indépendants dans ce scénario.

Ressources additionnelles

Les didacticiels suivants offrent des informations supplémentaires sur divers termes statistiques :

Que sont les événements disjoints ? (Définition et exemples)
Événements mutuellement inclusifs ou mutuellement exclusifs