Une introduction à la distribution binomiale négative

La distribution binomiale négative décrit la probabilité de connaître un certain nombre d’échecs avant de connaître un certain nombre de succès dans une série d’essais de Bernoulli.

Un essai de Bernoulli est une expérience avec seulement deux résultats possibles – « succès » ou « échec » – et la probabilité de succès est la même à chaque fois que l’expérience est menée.

Un exemple d’essai de Bernoulli est un tirage au sort. La pièce ne peut atterrir que sur deux faces (on pourrait appeler face un « succès » et face un « échec ») et la probabilité de succès à chaque lancer est de 0,5, en supposant que la pièce soit juste.

Si une variable aléatoire X suit une distribution binomiale négative, alors la probabilité de connaître k échecs avant de connaître un total de r succès peut être trouvée par la formule suivante :

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

où:

• k : nombre d’échecs
• r : nombre de réussites
• p : probabilité de succès sur un essai donné
• _k+r-1 C _k : nombre de combinaisons de (k+r-1) choses prises k à la fois

Par exemple, supposons que nous tirons à pile ou face et définissons un événement « réussi » comme un atterrissage sur face. Quelle est la probabilité de connaître 6 échecs avant de connaître un total de 4 réussites ?

Pour répondre à cette question, nous pouvons utiliser la distribution binomiale négative avec les paramètres suivants :

• k : nombre d’échecs = 6
• r : nombre de réussites = 4
• p : probabilité de succès sur un essai donné = 0,5

En insérant ces nombres dans la formule, nous trouvons que la probabilité est :

P(X=6 échecs) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 .

Propriétés de la distribution binomiale négative

La distribution binomiale négative a les propriétés suivantes :

Le nombre moyen d’échecs auquel nous nous attendons avant d’obtenir r succès est pr / (1-p) .

La variance du nombre d’échecs attendus avant d’obtenir r succès est pr / (1-p) ² .

Par exemple, supposons que nous tirons à pile ou face et définissons un événement « réussi » comme un atterrissage sur face.

Le nombre moyen d’échecs (par exemple atterrissage sur queue) auquel nous nous attendons avant d’obtenir 4 succès serait pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 .

La variance du nombre d’échecs auxquels nous nous attendons avant d’obtenir 4 succès serait pr / (1-p) ² = (.5*4) / (1-.5) ² = 8 .

Problèmes de pratique de distribution binomiale négative

Utilisez les problèmes pratiques suivants pour tester vos connaissances sur la distribution binomiale négative.

Remarque : Nous utiliserons le calculateur de distribution binomiale négative pour calculer les réponses à ces questions.

Problème 1

Question : Supposons que nous tirons à pile ou face et définissons un événement « réussi » comme un atterrissage sur face. Quelle est la probabilité de connaître 3 échecs avant de connaître un total de 4 réussites ?

Réponse : En utilisant le calculateur de distribution binomiale négative avec k = 3 échecs, r = 4 succès et p = 0,5, nous constatons que P(X=3) = 0,15625 .

Problème 2

Question : Supposons que nous fassions du porte-à-porte pour vendre des bonbons. Nous considérons que c’est un « succès » si quelqu’un achète une barre chocolatée. La probabilité qu’une personne donnée achète une barre chocolatée est de 0,4. Quelle est la probabilité de connaître 8 échecs avant de connaître un total de 5 succès ?

Réponse : En utilisant le calculateur de distribution binomiale négative avec k = 8 échecs, r = 5 succès et p = 0,4, nous constatons que P(X=8) = 0,08514 .

Problème 3

Question : Supposons que nous lançons un dé et définissons un lancer « réussi » comme un atterrissage sur le chiffre 5. La probabilité que le dé atterrisse sur un 5 à un lancer donné est de 1/6 = 0,167. Quelle est la probabilité de connaître 4 échecs avant de connaître un total de 3 succès ?

Réponse : En utilisant le calculateur de distribution binomiale négative avec k = 4 échecs, r = 3 succès et p = 0,167, nous constatons que P(X=4) = 0,03364 .