Distribution binomiale négative

Par Pr Amélia Rodriguez août 3, 2023 Probabilité 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est la distribution binomiale négative et à quoi elle sert. Vous trouverez également la formule de la distribution binomiale négative, un exemple concret et les propriétés de ce type de distribution de probabilité. Enfin, vous pourrez calculer n’importe quelle probabilité de distribution binomiale négative avec un calculateur en ligne.

Quelle est la distribution binomiale négative ?

La distribution binomiale négative est une distribution de probabilité qui décrit le nombre d’essais de Bernoulli requis pour obtenir un nombre donné de résultats positifs.

Par conséquent, une distribution binomiale négative a deux paramètres caractéristiques : r est le nombre de résultats réussis souhaités et p est la probabilité de succès pour chaque expérience de Bernoulli réalisée.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

N’oubliez pas qu’un essai Bernoulli est une expérience qui a deux résultats possibles : le « succès » et l’« échec ». Donc si la probabilité de « succès » est p , la probabilité d’« échec » est q=1-p .

Ainsi, une distribution binomiale négative définit un processus dans lequel autant d’essais de Bernoulli sont effectués que nécessaire pour obtenir des résultats positifs. De plus, tous ces essais de Bernoulli sont indépendants et ont une probabilité de succès p constante.

Par exemple, une variable aléatoire qui suit une distribution binomiale négative est le nombre de fois qu’un dé doit être lancé jusqu’à ce que le nombre 6 soit obtenu trois fois.

La différence entre une distribution binomiale négative et une distribution binomiale est que la distribution binomiale négative compte le nombre de fois qu’il faut pour obtenir un certain nombre de résultats réussis, tandis que la distribution binomiale compte le nombre de cas réussis d’une série d’essais de Bernoulli.

➤ Voir : Qu’est-ce que la distribution binomiale ?

Formule de distribution binomiale négative

Étant donné les paramètres r, p, x, la probabilité d’une distribution binomiale négative est calculée en multipliant le nombre combinatoire de x-1 dans xr par (1-p) ^xr par p ^r .

Ainsi, la formule pour calculer une probabilité de distribution binomiale négative est la suivante :

Formule de distribution binomiale négative

👉 Vous pouvez utiliser la calculatrice ci-dessous pour calculer la probabilité d’une variable qui suit la distribution binomiale négative.

Exercice résolu de la distribution binomiale négative

Quelle est la probabilité qu’en lançant une pièce huit fois, elle revienne face une quatrième fois au huitième lancer ?

Tout d’abord, nous devons calculer la probabilité d’obtenir face en lançant une pièce de monnaie. Dans ce cas, nous n’avons qu’un seul résultat positif (pile) sur deux résultats possibles (pile et face), donc la probabilité de succès est :

$p=\cfrac{1}{2}=0,5$

Ainsi, la variable aléatoire dans ce problème suit une distribution binomiale négative où r=4 et p=0,5. Par conséquent, nous utilisons la formule de distribution binomiale négative pour calculer la probabilité que l’exercice nous demande de faire.

$\begin{aligned}P[X=x]&=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r\\[2ex]\displaystyle P[X=8]&=\begin{pmatrix}8-1\\ 8-4\end{pmatrix}\cdot (1-0,5)^{8-4}\cdot 0,5^4\\[2ex] P[X=8]&=0,1367\end{aligned}$

Caractéristiques de la distribution binomiale négative

Vous trouverez ci-dessous les caractéristiques les plus importantes de la distribution binomiale négative.

La distribution binomiale négative est définie par deux paramètres caractéristiques : r est le nombre de résultats réussis souhaités et p est la probabilité de succès pour chaque expérience de Bernoulli réalisée.

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c}r\in \mathbb{Z}^+ \\[2ex] 0<ul><li> La moyenne de la distribution binomiale négative est égale à <em>r</em> multiplié par <em>(1-p)</em> et divisé par <em>p</em> . Ainsi la formule qui permet de calculer la moyenne d'une distribution binomiale négative est la suivante :</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p}

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La variance d’une distribution binomiale négative équivaut à r multiplié par (1-p) divisé par p ² .

$Var(X)=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p^2}$

Si le paramètre r est supérieur à 1, le mode d’une distribution binomiale négative peut être calculé avec la formule suivante :

$\displaystyle \lfloor \frac{(r-1)(1-p)}{p}\rfloor\quad \text{para }r>1$

La fonction de masse qui permet de déterminer une probabilité d’une distribution binomiale négative est la suivante :

$P[X=x]=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r$

Le coefficient d’asymétrie d’une distribution binomiale négative est calculé avec l’expression suivante :

$\displaystyle A=\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}$

L’aplatissement d’une distribution binomiale négative peut être trouvé avec la formule suivante :

$\displaystyle C=\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}$

Si le paramètre r est égal à 1, alors nous avons un cas de distribution géométrique .

$r=1 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad X\sim \text{Geometrica}(p)$

Calculateur de distribution binomiale négative

Entrez les valeurs des paramètres r, p, x dans la calculatrice suivante pour calculer la probabilité. Vous devez saisir des nombres en utilisant le point comme séparateur décimal, par exemple 0,50.

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus