Distribution de Bernoulli

Par Pr Amélia Rodriguez août 4, 2023 Probabilité 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est la distribution de Bernoulli et quelle est sa formule. De plus, vous trouverez les propriétés de la distribution de Bernoulli et un exercice résolu pour mieux comprendre sa signification.

Qu’est-ce que la distribution de Bernoulli ?

La distribution de Bernoulli , également connue sous le nom de distribution dichotomique , est une distribution de probabilité qui représente une variable discrète qui ne peut avoir que deux résultats : « succès » ou « échec ».

Dans la distribution de Bernoulli, le « succès » est le résultat auquel nous nous attendons et a la valeur 1, tandis que le résultat de « l’échec » est un résultat autre que celui attendu et a la valeur 0. Ainsi, si la probabilité du le résultat du « succès » est p , la probabilité du résultat de « l’échec » est q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

La distribution de Bernoulli doit son nom au statisticien suisse Jacob Bernoulli.

En statistique, la distribution de Bernoulli a principalement une application : définir les probabilités d’expériences dans lesquelles il n’y a que deux résultats possibles : le succès et l’échec. Ainsi, une expérience qui utilise la distribution de Bernoulli est appelée essai de Bernoulli ou expérience de Bernoulli.

Formule de distribution de Bernoulli

Si p est la probabilité d’apparition du résultat du « succès », la probabilité de la distribution de Bernoulli est égale à p élevé à x multiplié par 1-p élevé à 1-x . Ainsi les probabilités de la distribution de Bernoulli peuvent être calculées à l’aide de la formule suivante :

Notez que dans une distribution de Bernoulli, la valeur de x ne peut être que 0 (échec) ou 1 (succès).

D’autre part, la formule précédente peut également s’écrire en utilisant l’expression équivalente suivante :

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

Exemple de distribution de Bernoulli

Maintenant que nous connaissons la définition de la distribution de Bernoulli et quelle est sa formule, voyons un exemple concret de la distribution de Bernoulli.

Pour gagner une partie, un joueur doit lancer un dé et obtenir un 2, sinon un autre joueur gagnera la partie et donc la partie sera perdue. Calculez la probabilité de succès et d’échec.

Un dé a six résultats possibles (1, 2, 3, 4, 5, 6), donc dans ce cas, l’espace échantillon de l’expérience est :

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

Dans notre cas, le seul cas de réussite est d’obtenir le chiffre deux, de sorte que la probabilité de réussite en appliquant la règle de Laplace est égale à un divisé par le nombre total de résultats possibles (6) :

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

En revanche, si un autre chiffre apparaît au lancer du dé, le résultat de l’expérience sera considéré comme un échec, puisque le joueur perdra la partie. Ainsi, cette probabilité équivaut à un moins la probabilité calculée précédemment :

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

En bref, la distribution de Bernoulli de cette expérience est définie par l’expression suivante :

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

Comme vous pouvez le voir ci-dessous, les probabilités de la distribution de Bernoulli peuvent également être trouvées en appliquant la formule vue ci-dessus :

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

Caractéristiques de la distribution de Bernoulli

Vous trouverez ci-dessous les caractéristiques les plus importantes de la distribution de Bernoulli.

La distribution de Bernoulli ne peut prendre que la valeur 1 (succès) ou 0 (échec).

$x=\{0\ ; 1\}$

La moyenne de la distribution de Bernoulli est équivalente à la probabilité d’occurrence du résultat « succès ».

$E[X]=p$

La variance d’une distribution de Bernoulli peut être calculée en multipliant les probabilités d’occurrence du résultat « succès » et « échec ». Ou, de manière équivalente, la variance est égale à p fois 1-p .

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

La valeur du mode d’une distribution de Bernoulli dépend des probabilités de « succès » et d’« échec ». Ainsi, le mode de ce type de distribution est défini par l’expression suivante :

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 \displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> La formule de la fonction de probabilité d'une distribution de Bernoulli est la suivante :</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

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D’autre part, la fonction de probabilité cumulée de la distribution de Bernoulli est définie par l’expression suivante :

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

Le coefficient d’asymétrie d’une distribution de Bernoulli est calculé avec l’expression suivante :

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

De même, l’aplatissement d’une distribution de Bernoulli dépend de la valeur du paramètre p et peut être trouvé en appliquant la formule suivante :

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

Distribution de Bernoulli et distribution binomiale

Dans cette section, nous verrons la différence entre la distribution de Bernoulli et la distribution binomiale, car ce sont deux types de distributions de probabilité liées.

La distribution binomiale compte le nombre de résultats « réussis » obtenus à partir d’un ensemble d’essais de Bernoulli. Ces expériences de Bernoulli doivent être indépendantes mais doivent avoir la même probabilité de succès.

Par conséquent, la distribution binomiale est la somme d’un ensemble de variables qui suivent une distribution de Bernoulli , toutes définies par le même paramètre p .

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

Ainsi, dans la distribution de Bernoulli, il n’y a qu’une seule expérience de Bernoulli, tandis que dans la distribution binomiale, il y a une séquence d’expériences de Bernoulli.

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus