4 exemples réels de distribution exponentielle

La distribution exponentielle est une distribution de probabilité utilisée pour modéliser le temps que nous devons attendre jusqu’à ce qu’un certain événement se produise.

Si une variable aléatoire X suit une distribution exponentielle, alors la fonction de densité cumulée de X peut s’écrire :

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

où:

• λ : le paramètre de taux (calculé comme λ = 1/μ)
• e : Une constante à peu près égale à 2,718

Dans cet article, nous partageons 5 exemples de distribution exponentielle dans la vie réelle.

Exemple 1 : Temps entre les éruptions du geyser

Le nombre de minutes entre les éruptions d’un certain geyser peut être modélisé par la distribution exponentielle.

Par exemple, supposons que le nombre moyen de minutes entre les éruptions d’un certain geyser soit de 40 minutes. Si un geyser entre en éruption, quelle est la probabilité que nous devions attendre moins de 50 minutes pour la prochaine éruption ?

Pour résoudre ce problème, nous devons d’abord calculer le paramètre de taux :

• λ = 1/µ
• λ = 1/40
• λ = 0,025

Nous pouvons brancher λ = 0,025 et x = 50 à la formule du CDF :

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

La probabilité que nous devions attendre moins de 50 minutes pour la prochaine éruption est de 0,7135 .

Exemple 2 : temps entre les clients

Le nombre de minutes entre les clients qui entrent dans un certain magasin peut être modélisé par la distribution exponentielle.

Par exemple, supposons qu’un nouveau client entre dans un magasin toutes les deux minutes en moyenne. Après l’arrivée d’un client, déterminez la probabilité qu’un nouveau client arrive en moins d’une minute.

Pour résoudre cela, on peut commencer par savoir que le délai moyen entre les clients est de deux minutes. Ainsi, le taux peut être calculé comme suit :

• λ = 1/µ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

Nous pouvons brancher λ = 0,5 et x = 1 à la formule du CDF :

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

La probabilité que nous devions attendre moins d’une minute pour l’arrivée du prochain client est de 0,3935 .

Exemple 3 : Temps entre les tremblements de terre  

Le temps entre les occurrences de tremblements de terre peut être modélisé à l’aide d’une distribution exponentielle.

Par exemple, supposons qu’un tremblement de terre se produise en moyenne tous les 400 jours dans une certaine région. Après un tremblement de terre, déterminez la probabilité qu’il faudra plus de 500 jours avant que le prochain tremblement de terre ne se produise.

Pour résoudre ce problème, on commence par savoir que le délai moyen entre les séismes est de 400 jours. Ainsi, le taux peut être calculé comme suit :

• λ = 1/µ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

Nous pouvons brancher λ = 0,0025 et x = 500 à la formule du CDF :

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

La probabilité que nous devions attendre moins de 500 jours pour le prochain séisme est de 0,7135.

Ainsi, la probabilité que nous devions attendre plus de 500 jours pour le prochain tremblement de terre est de 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Exemple 4 : temps entre les appels

Le temps entre les appels des clients dans différentes entreprises peut être modélisé à l’aide d’une distribution exponentielle.

Par exemple, supposons qu’une banque reçoive un nouvel appel toutes les 10 minutes en moyenne. Après qu’un client appelle, déterminez la probabilité qu’un nouveau client appelle dans les 10 à 15 minutes.

Pour résoudre cela, on commence par savoir que le temps moyen entre les appels est de 10 minutes. Ainsi, le taux peut être calculé comme suit :

• λ = 1/µ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Nous pouvons utiliser la formule suivante pour calculer la probabilité qu’un nouveau client appelle dans les 10 à 15 minutes :

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0,1448

La probabilité qu’un nouveau client appelle dans les 10 à 15 minutes. est 0,1448 .

Ressources additionnelles

Les articles suivants présentent des exemples de la façon dont d’autres distributions de probabilité sont utilisées dans le monde réel :

6 exemples concrets de la distribution normale
5 exemples concrets de la distribution binomiale
5 exemples concrets de la distribution de Poisson
5 exemples concrets de distribution géométrique
5 exemples concrets de distribution uniforme