Comment utiliser la distribution multinomiale dans R

La distribution multinomiale décrit la probabilité d’obtenir un nombre spécifique de décomptes pour k résultats différents, lorsque chaque résultat a une probabilité fixe de se produire.

Si une variable aléatoire X suit une distribution multinomiale, alors la probabilité que le résultat 1 se produise exactement x ₁ fois, que le résultat 2 se produise exactement x ₂ fois, etc. peut être trouvée par la formule suivante :

Probabilité = n ! * (p ₁ ^{x ₁} * p ₂ ^{x ₂} * … * p _k ^{x _k} ) / (x ₁ ! * x ₂ ! … * x _k !)

où:

• n : nombre total d’événements
• x ₁ : nombre de fois où le résultat 1 se produit
• p ₁ : probabilité que le résultat 1 se produise dans un essai donné

Pour calculer une probabilité multinomiale dans R on peut utiliser la fonction dmultinom() , qui utilise la syntaxe suivante :

dmultinom(x=c(1, 6, 8), prob=c(.4, .5, .1))

où:

• x : Un vecteur qui représente la fréquence de chaque résultat
• prob : Un vecteur qui représente la probabilité de chaque résultat (la somme doit être 1)

Les exemples suivants montrent comment utiliser cette fonction dans la pratique.

Exemple 1

Dans une élection à trois pour le maire, le candidat A reçoit 10 % des voix, le candidat B reçoit 40 % des voix et le candidat C reçoit 50 % des voix.

Si nous sélectionnons un échantillon aléatoire de 10 électeurs, quelle est la probabilité que 2 aient voté pour le candidat A, 4 aient voté pour le candidat B et 4 aient voté pour le candidat C ?

Nous pouvons utiliser le code suivant dans R pour répondre à cette question :

#calculate multinomial probability
dmultinom(x=c(2, 4, 4), prob=c(.1, .4, .5))

[1] 0.0504

La probabilité qu’exactement 2 personnes aient voté pour A, 4 pour B et 4 pour C est de 0,0504 .

Exemple 2

Supposons qu’une urne contienne 6 billes jaunes, 2 billes rouges et 2 billes roses.

Si nous sélectionnons au hasard 4 boules dans l’urne, avec remise, quelle est la probabilité que les 4 boules soient toutes jaunes ?

Nous pouvons utiliser le code suivant dans R pour répondre à cette question :

#calculate multinomial probability
dmultinom(x=c(4, 0, 0), prob=c(.6, .2, .2))

[1] 0.1296

La probabilité que les 4 boules soient jaunes est de 0,1296 .

Exemple 3

Supposons que deux élèves jouent aux échecs l’un contre l’autre. La probabilité que l’élève A gagne un jeu donné est de 0,5, la probabilité que l’élève B gagne un jeu donné est de 0,3 et la probabilité qu’il y ait égalité dans un jeu donné est de 0,2.

S’ils jouent 10 parties, quelle est la probabilité que le joueur A gagne 4 fois, le joueur B gagne 5 fois et qu’ils soient à égalité 1 fois ?

Nous pouvons utiliser le code suivant dans R pour répondre à cette question :

#calculate multinomial probability
dmultinom(x=c(4, 5, 1), prob=c(.5, .3, .2))

[1] 0.0382725

La probabilité que le joueur A gagne 4 fois, le joueur B gagne 5 fois et qu’ils soient à égalité 1 fois est d’environ 0,038 .

Ressources additionnelles

Les didacticiels suivants fournissent des informations supplémentaires sur la distribution multinomiale :

Une introduction à la distribution multinomiale
Calculateur de distribution multinomiale
Qu’est-ce qu’un test multinomial ? (Définition et exemple)