Distribution symétrique

Par Pr Amélia Rodriguez août 5, 2023 Statistiques 0 commentaire

Dans cet article, vous découvrirez ce que sont les distributions symétriques, des exemples de distributions symétriques et comment déterminer si une distribution est symétrique ou asymétrique.

Qu’est-ce qu’une distribution symétrique ?

En statistique, une distribution symétrique est une distribution qui a le même nombre de valeurs à gauche de la moyenne qu’à droite de la moyenne. Autrement dit, dans une distribution symétrique, la moyenne est un axe de symétrie.

Par exemple, la distribution normale est une distribution symétrique.

Dans toutes les distributions symétriques, la moyenne est égale à la médiane. Mais si la distribution est également unimodale (le mode statistique est une valeur unique), la moyenne, la médiane et le mode sont équivalents.

Logiquement, pour bien comprendre en quoi consiste une distribution symétrique, vous devez être clair sur ce que sont la moyenne, la médiane et le mode. Vous pouvez revoir la signification de ces concepts statistiques ici :

➤ Voir : Qu’est-ce que la moyenne, la médiane et le mode ?

Exemples de distributions symétriques

Compte tenu de la définition de la distribution symétrique, un exemple de ce type de distribution est présenté ci-dessous :

Comme le montre le graphique, la distribution est symétrique car la moyenne se trouve en plein milieu de toutes les données, c’est-à-dire que la queue à gauche de la courbe est la même que la queue à droite. Dans ce cas, la moyenne, la médiane et le mode sont les mêmes car le mode est unimodal.

Deux exemples clairs de deux types différents de distributions de probabilité symétriques sont la distribution normale et la distribution uniforme, car elles ont le même nombre de valeurs à gauche et à droite de la moyenne.

D’un autre côté, une distribution peut également être symétrique et bimodale, c’est-à-dire avoir deux modes. Regardez l’exemple suivant :

Comme vous pouvez le voir dans cet autre exemple, une distribution bimodale peut également être symétrique, car elle peut avoir la moyenne et la médiane au centre indépendamment des autres valeurs. Cependant, dans ce cas, le mode ne doit pas nécessairement être égal à la moyenne et au mode.

Autres types de distributions selon leur symétrie

Outre les distributions symétriques, il existe deux autres types de distributions asymétriques.

Distribution symétrique : La distribution a le même nombre de valeurs à gauche et à droite de la moyenne.
Distribution asymétrique positive : La distribution a plus de valeurs différentes à droite de la moyenne qu’à sa gauche.
Distribution asymétrique négative : La distribution a plus de valeurs différentes à gauche de la moyenne qu’à sa droite.

Comment savoir si une distribution est symétrique

Pour déterminer si une distribution est symétrique ou non, il faut calculer le coefficient d’asymétrie de Pearson, dont la formule est :

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Où

$A_p$ est le coefficient de Pearson, $\mu$ la moyenne arithmétique, $Mo$ le mode (statistiques) et $\sigma$ l’écart type.

Ainsi, selon le signe du coefficient d’asymétrie de Pearson, la distribution sera symétrique ou asymétrique :

Si le coefficient d’asymétrie de Pearson est positif, cela signifie que la distribution est positivement asymétrique.
Si le coefficient d’asymétrie de Pearson est négatif, cela signifie que la distribution est asymétrique négativement.
Si le coefficient d’asymétrie de Pearson est égal à zéro, cela signifie que la distribution est symétrique.

Cependant, le coefficient de Pearson ne peut être calculé que si la distribution est unimodale, sinon il faut utiliser le coefficient d’asymétrie de Fisher, dont la formule est la suivante :

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

Où

$\mu$ la moyenne arithmétique, $\sigma$ l’écart type et $N$ le nombre total de données.

L’interprétation du coefficient d’asymétrie de Fisher est identique au coefficient de Pearson : s’il est positif cela signifie que la distribution est positivement asymétrique, s’il est négatif la distribution est négativement asymétrique, et s’il est nul cela signifie que la distribution est symétrique.

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus