Estimation des paramètres

Cet article explique ce qu’est l’estimation des paramètres dans les statistiques. Ainsi, vous découvrirez comment un paramètre est estimé en statistique, les différents types d’estimations et des exemples d’estimations de paramètres.

Qu’est-ce que l’estimation des paramètres ?

L’estimation des paramètres est une méthode statistique qui permet d’estimer la valeur d’un paramètre de population à partir d’un échantillon. Autrement dit, en statistiques, l’estimation des paramètres est utilisée pour approximer un paramètre de population en effectuant des calculs avec des échantillons de données.

En général, les paramètres d’une population ne sont pas connus et celle-ci est généralement trop grande pour étudier tous ses individus. Ainsi, un échantillon de la population est prélevé, cet échantillon est analysé statistiquement et, enfin, les résultats obtenus sont déduits de l’ensemble de la population. Ainsi, l’estimation des paramètres statistiques permet d’avoir une idée approximative des valeurs des paramètres de population.

Lors de l’estimation d’un paramètre, il existe toujours une marge d’erreur. Étant donné que la valeur réelle du paramètre de population est généralement inconnue, lors de l’estimation d’un paramètre, une approximation est effectuée et, par conséquent, un écart entre la valeur réelle et la valeur approximative peut se produire.

Types d’estimations de paramètres

En statistiques, il existe deux types d’estimations de paramètres :

• Estimation de paramètre spécifique : consiste à estimer la valeur du paramètre de population à une valeur spécifique. Généralement, la valeur du paramètre d’échantillon est utilisée comme estimation du paramètre de population.
• Estimation des paramètres par intervalles : elle repose sur l’estimation du paramètre de population avec un intervalle. Ainsi, au lieu d’approcher le paramètre de population à une valeur unique, il se rapproche d’une plage de valeurs.

L’estimation ponctuelle est plus précise que l’estimation par intervalles car elle réduit l’approximation à une valeur unique. Cependant, l’estimation par intervalle est plus fiable, car la valeur réelle du paramètre est plus susceptible de se situer dans un intervalle que de déterminer sa valeur exacte à l’aide d’une estimation ponctuelle.

Estimation ponctuelle

L’estimation ponctuelle consiste à estimer la valeur exacte d’un paramètre de population à partir des données d’un échantillon. Autrement dit, l’estimation ponctuelle fournit une valeur spécifique d’un paramètre de population en utilisant la valeur échantillon du paramètre comme référence.

Par exemple, pour déterminer la moyenne d’une population de 1 000 individus, nous pouvons faire une estimation ponctuelle et calculer la valeur de la moyenne d’un échantillon de 50 personnes. Nous pouvons donc prendre la valeur de la moyenne de l’échantillon comme estimation ponctuelle de la moyenne de la population.

Ainsi, un estimateur est un échantillon de statistique utilisé pour estimer la valeur d’un paramètre de population. Ainsi, la valeur du paramètre d’échantillon est considérée comme une estimation de la valeur du paramètre de population.

Estimation d’intervalle

L’estimation par intervalle consiste à estimer la valeur d’un paramètre de population à l’aide d’un intervalle. Plus précisément, l’estimation d’intervalle consiste à calculer l’intervalle dans lequel la valeur du paramètre est la plus susceptible de se situer avec un certain niveau de confiance.

Par exemple, si dans une estimation par intervalles on conclut que l’intervalle de confiance pour la moyenne de la population est (3,7) avec un niveau de confiance de 95%, cela signifie que la moyenne de la population étudiée sera comprise entre 3 et 7 avec une probabilité de 95%.

L’intervalle qui fournit l’estimation de l’intervalle est appelé intervalle de confiance. Ainsi, l’ intervalle de confiance est un intervalle qui donne une estimation, avec une marge d’erreur, des valeurs entre lesquelles se situe la valeur d’un paramètre de population. En bref, l’intervalle de confiance est le résultat obtenu à partir d’une estimation d’intervalle. Pour calculer l’intervalle de confiance d’une estimation d’intervalle, la formule correspondante doit être appliquée :

Exemple d’estimation d’un paramètre

Une fois que nous aurons vu la définition de l’estimation des paramètres et quels sont les différents types d’estimations de paramètres, nous allons voir un exemple de la façon dont un paramètre de population pourrait être estimé.

• Dans une étude de marché, nous souhaitons déterminer le prix moyen des écouteurs. Cependant, il existe tellement de modèles qu’il n’est pas possible d’étudier le prix de tous, il est donc décidé de prendre un échantillon des cinq marques qui ont vendu le plus d’écouteurs l’année dernière (les données sont présentées ci-dessous). Estimation du prix moyen de la population ponctuellement et par intervalles.

25 8 14 19 12

Pour estimer avec précision la moyenne de la population, il suffit de calculer la moyenne des données de l’échantillon. Ainsi, nous appliquons la formule de la moyenne arithmétique :

En revanche, nous estimerons par intervalles avec un niveau de confiance de 95 %, puisqu’il s’agit du niveau de confiance le plus courant. Ainsi, pour réaliser une estimation par intervalle il faut appliquer la formule de l’intervalle de confiance pour la moyenne :

Erreur d’estimation

En pratique, il est très difficile de faire une estimation exacte de la valeur réelle d’un paramètre, c’est pourquoi il y a souvent une erreur dans l’estimation. Logiquement, il faut essayer de minimiser l’erreur d’estimation.

Ainsi, si l’on connaît la valeur du paramètre de population, on peut calculer l’erreur d’estimation, qui est définie comme la différence entre la valeur estimée et la valeur réelle du paramètre.

Où

est la valeur de l’estimation et est la valeur réelle du paramètre.

Vous pouvez également calculer l’erreur quadratique moyenne (MSE), qui est la moyenne des erreurs quadratiques. Il convient de noter que l’erreur quadratique moyenne représente la variance de l’estimateur.

Lorsque la valeur réelle du paramètre de population n’est pas connue, ce qui est le cas le plus courant, un test d’hypothèse est généralement réalisé pour vérifier si l’estimation est correcte.