Comment calculer les intervalles de confiance : 3 exemples de problèmes

Un intervalle de confiance pour une moyenne est une plage de valeurs susceptible de contenir une moyenne de population avec un certain niveau de confiance.

Nous utilisons la formule suivante pour calculer un intervalle de confiance pour une moyenne :

Intervalle de confiance = x +/- t*(s/√ n )

où:

• x : moyenne de l’échantillon
• t : la valeur critique de t
• s : écart type de l’échantillon
• n : taille de l’échantillon

Remarque : Nous remplaçons at valeur critique par az valeur critique dans la formule si l’écart type de la population (σ) est connu et que la taille de l’échantillon est supérieure à 30.

Les exemples suivants montrent comment construire un intervalle de confiance pour une moyenne dans trois scénarios différents :

• L’écart type de la population (σ) est inconnu
• L’écart type de la population (σ) est connu mais n ≤ 30
• L’écart type de la population (σ) est connu et n > 30

Allons-y !

Exemple 1 : intervalle de confiance lorsque σ est inconnu

Supposons que nous souhaitions calculer un intervalle de confiance de 95 % pour la hauteur moyenne (en pouces) d’une certaine espèce de plante.

Supposons que nous collections un échantillon aléatoire simple avec les informations suivantes :

• moyenne de l’échantillon ( x ) = 12
• taille de l’échantillon (n) = 19
• écart type de l’échantillon (s) = 6,3

Nous pouvons utiliser la formule suivante pour construire cet intervalle de confiance :

• IC à 95 % = x +/- t*(s/√ n )
• IC à 95 % = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6,3/√ 19 )
• IC à 95 % = 12 +/- t _{18, 0,025} *(6,3/√ 19 )
• IC à 95 % = 12 +/- 2,1009*(6,3/√ 19 )
• IC à 95 % = (8,964, 15,037)

L’intervalle de confiance de 95 % pour la hauteur moyenne de la population pour cette espèce particulière de plante est de (8,964 pouces, 15,037 pouces) .

Remarque n°1 : Nous avons utilisé le calculateur de distribution t inverse pour trouver la valeur critique t associée à 18 degrés de liberté et un niveau de confiance de 0,95.

Remarque n°2 : L’écart type de la population (σ) étant inconnu, nous avons utilisé la valeur critique t lors du calcul de l’intervalle de confiance.

Exemple 2 : Intervalle de confiance lorsque σ est connu mais n ≤ 30

Supposons que nous souhaitions calculer un intervalle de confiance de 99 % pour la note moyenne d’un certain examen d’entrée à l’université.

Supposons que nous collections un échantillon aléatoire simple avec les informations suivantes :

• moyenne de l’échantillon ( x ) = 85
• taille de l’échantillon (n) = 25
• écart type de la population (σ) = 3,5

Nous pouvons utiliser la formule suivante pour construire cet intervalle de confiance :

• IC à 99 % = x +/- t*(s/√ n )
• IC à 99 % = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3,5/√ 25 )
• IC à 99 % = 85 +/- t _{24, 0,005} *(3,5/√ 25 )
• IC à 99 % = 85 +/- 2,7969*(3,5/√ 25 )
• IC à 99 % = (83,042, 86,958)

L’intervalle de confiance de 99 % pour la note moyenne de la population à cet examen d’entrée à l’université est de (83,042, 86,958) .

Remarque n°1 : Nous avons utilisé le calculateur de distribution t inverse pour trouver la valeur critique t associée à 24 degrés de liberté et un niveau de confiance de 0,99.

Remarque n°2 : Étant donné que l’écart type de la population (σ) était connu mais que la taille de l’échantillon (n) était inférieure à 30, nous avons utilisé la valeur critique t lors du calcul de l’intervalle de confiance.

Exemple 3 : Intervalle de confiance lorsque σ est connu et n > 30

Supposons que nous souhaitions calculer un intervalle de confiance de 90 % pour le poids moyen d’une certaine espèce de tortue.

Supposons que nous collections un échantillon aléatoire simple avec les informations suivantes :

• moyenne de l’échantillon ( x ) = 300
• taille de l’échantillon (n) = 40
• écart type de la population (σ) = 15

Nous pouvons utiliser la formule suivante pour construire cet intervalle de confiance :

• IC à 90 % = x +/- z*(σ/√ n )
• IC à 90 % = 300 +/- 1,645*(15/√ 40 )
• IC à 90 % = (296,099, 303,901)

L’intervalle de confiance à 90 % pour le poids moyen de la population de cette espèce particulière de tortue est (83,042, 86,958) .

Remarque n°1 : Nous avons utilisé le calculateur de valeur critique Z pour trouver la valeur critique z associée à un niveau de signification de 0,1.

Remarque n°2 : Puisque l’écart type de la population (σ) était connu et que la taille de l’échantillon (n) était supérieure à 30, nous avons utilisé la valeur critique z lors du calcul de l’intervalle de confiance.

Ressources additionnelles

Les didacticiels suivants fournissent des informations supplémentaires sur les intervalles de confiance :

4 exemples d’intervalles de confiance dans la vie réelle
Comment rédiger une conclusion sur l’intervalle de confiance
Les 6 hypothèses d’intervalle de confiance à vérifier