Intervalle de confiance pour la moyenne

Par Pr Amélia Rodriguez août 3, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est l’intervalle de confiance pour la moyenne dans les statistiques et à quoi il sert. De même, vous découvrirez comment calculer l’intervalle de confiance de la moyenne ainsi qu’un exercice étape par étape.

Quel est l’intervalle de confiance de la moyenne ?

L’ intervalle de confiance pour la moyenne est un intervalle qui fournit une plage de valeurs admissibles pour la moyenne d’une population. Autrement dit, l’intervalle de confiance pour la moyenne nous donne une valeur maximale et une valeur minimale entre lesquelles se trouve la valeur de la moyenne d’une population avec une marge d’erreur.

Par exemple, si l’intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne de population est (6,10), cela signifie que 95 % du temps, la moyenne de la population sera comprise entre 6 et 10.

Par conséquent, l’intervalle de confiance de la moyenne est utilisé pour estimer deux valeurs entre lesquelles se situe la moyenne d’une population. Ainsi, l’intervalle de confiance de la moyenne est très utile pour se rapprocher de la moyenne d’une population lorsque toutes ses valeurs sont inconnues.

Formule d’intervalle de confiance pour la moyenne

En supposant que le processus de saisie d’une variable se déroule comme suit :

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

L’intervalle de confiance pour la moyenne est calculé en ajoutant et en soustrayant de la moyenne de l’échantillon la valeur de Z _α/2 multipliée par l’écart type (σ) et divisée par la racine carrée de la taille de l’échantillon (n). Par conséquent, la formule pour calculer l’intervalle de confiance de la moyenne est la suivante :

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Pour des échantillons de grande taille et un niveau de confiance de 95 %, la valeur critique est Z _α/2 = 1,96 et pour un niveau de confiance de 99 %, la valeur critique est Z _α/2 = 2,576.

La formule ci-dessus est utilisée lorsque la variance de la population est connue. Cependant, si la variance de la population est inconnue, ce qui est le plus souvent le cas, l’intervalle de confiance de la moyenne est calculé à l’aide de la formule suivante :

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Où:

$\overline{x}$ est la moyenne de l’échantillon.
$t_{\alpha/2}$ est la valeur de la distribution t de Student de n-1 degrés de liberté avec une probabilité de α/2.
$s$ est l’écart type de l’échantillon.
$n$ est la taille de l’échantillon.

Exemple de calcul d’un intervalle de confiance pour la moyenne

Afin que vous puissiez voir comment l’intervalle de confiance pour la moyenne d’une population est calculé, nous vous laissons ci-dessous un exemple résolu étape par étape.

Nous disposons d’un échantillon de 8 observations avec les valeurs indiquées ci-dessous. Quel est l’intervalle de confiance de la moyenne de la population au niveau de confiance de 95 % ?

206 203 201 212
194 176 208 201

Comme nous l’avons vu dans la section précédente, la formule qui permet d’obtenir l’intervalle de confiance d’une moyenne de population lorsque l’on ne connaît pas l’écart type de la population est la suivante :

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Ainsi, afin de déterminer l’intervalle de confiance de la moyenne, nous devons d’abord calculer la moyenne et l’écart type de l’échantillon.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ Voir : Calculateur de moyenne arithmétique
➤ Voir : Calculateur d’écart type

Puisque nous voulons trouver l’intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 1-α=95 % et que la taille de l’échantillon est de 8, nous devons accéder à la table de distribution t de Student et voir quelle valeur correspond à t _0,025|7 .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ Voir : Valeurs de la table de distribution t de Student

Nous appliquons donc la formule de l’intervalle de confiance pour la moyenne et effectuons les calculs pour trouver les limites de l’intervalle :

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

En conclusion, l’intervalle de confiance calculé nous indique qu’avec un niveau de confiance de 95 %, la moyenne de la population se situera entre 190,82 et 209,43.

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Pr Amélia Rodriguez

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Quel est l’intervalle de confiance de la moyenne ?

Formule d’intervalle de confiance pour la moyenne

Exemple de calcul d’un intervalle de confiance pour la moyenne

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