음이항 분포 소개

음이항 분포는 일련의 베르누이 시행에서 특정 횟수의 성공을 경험하기 전에 특정 횟수의 실패를 경험할 확률을 설명합니다.

베르누이 시행은 ‘성공’ 또는 ‘실패’라는 두 가지 결과만 가능한 실험이며, 실험을 수행할 때마다 성공할 확률은 동일합니다.

베르누이 에세이의 예는 동전 던지기입니다. 동전은 앞면이 두 개만 나올 수 있으며(앞면이 “적중”이고 뒷면이 “실패”라고 부를 수 있음), 동전이 공정하다고 가정할 때 각 던지기의 성공 확률은 0.5입니다.

확률 변수 인 경우

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

금:

• k: 실패 횟수
• r: 성공 횟수
• p: 주어진 시행의 성공 확률
• _k+r-1 C _k : 한 번에 k개를 취하는 (k+r-1)개의 사물의 조합 수

예를 들어, 동전을 던져 앞면이 나오는 것을 “성공적인” 이벤트로 정의한다고 가정해 보겠습니다. 총 4번의 성공을 경험하기 전에 6번의 실패를 경험할 확률은 얼마입니까?

이 질문에 답하기 위해 다음 매개변수와 함께 음이항 분포를 사용할 수 있습니다.

• k: 실패 횟수 = 6
• r: 성공 횟수 = 4
• p: 주어진 시행의 성공 확률 = 0.5

이 숫자를 공식에 대입하면 확률은 다음과 같습니다.

P(X=6 실패) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 .

음이항 분포의 속성

음이항 분포에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

r번 성공하기 전에 예상되는 평균 실패 횟수는 pr/(1-p) 입니다.

r개의 성공을 얻기 전에 예상되는 실패 횟수의 분산은 pr / (1-p) ² 입니다.

예를 들어, 동전을 던져 앞면이 나오는 것을 “성공적인” 이벤트로 정의한다고 가정해 보겠습니다.

4번의 성공을 거두기 전에 예상되는 평균 실패 횟수(예: 꼬리 착지)는 pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 입니다.

4번의 성공을 거두기 전에 예상되는 실패 횟수의 분산은 pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 입니다.

음이항 분포 연습 문제

음이항 분포에 대한 지식을 테스트하려면 다음 연습 문제를 사용하세요.

참고: 음이항 분포 계산기를 사용하여 이러한 질문에 대한 답을 계산할 것입니다.

문제 1

질문: 동전을 던져 앞면이 나오는 것을 “성공적인” 사건으로 정의한다고 가정해 보겠습니다. 총 4번의 성공을 경험하기 전에 3번의 실패를 경험할 확률은 얼마입니까?

답: k = 3개의 실패, r = 4개의 성공, p = 0.5인 음이항 분포 계산기를 사용하면 P(X=3) = 0.15625 라는 것을 알 수 있습니다.

문제 2

질문: 우리가 집집마다 사탕을 팔러 간다고 가정해 봅시다. 누군가가 캔디바를 구입하면 우리는 이를 “성공”으로 간주합니다. 특정 사람이 캔디바를 구입할 확률은 0.4입니다. 총 5번의 성공을 경험하기 전에 8번의 실패를 경험할 확률은 얼마입니까?

답: k = 8개의 실패, r = 5개의 성공, p = 0.4인 음이항 분포 계산기를 사용하면 P(X=8) = 0.08514 라는 것을 알 수 있습니다.

문제 3

질문: 주사위를 굴리고 “성공적인” 굴림을 숫자 5에 나오는 것으로 정의한다고 가정해 보겠습니다. 주어진 굴림에서 주사위가 5에 나올 확률은 1/6 = 0.167입니다. 총 3번의 성공을 경험하기 전에 4번의 실패를 경험할 확률은 얼마입니까?

답: k = 4개의 실패, r = 3개의 성공, p = 0.167인 음이항 분포 계산기를 사용하면 P(X=4) = 0.03364 라는 것을 알 수 있습니다.